2014年5月14日

一次元調和振動子

量子力学的な調和振動子の考察

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力学において理想的なバネにつながれた物体の振動する様子を示したものを一般的に調和振動子などと言ったりしますが、今回はシュレーディンガー方程式に当てはめていった場合、数式的にどのような振舞を示すかを考察していきます。

 

前回出てきたシュレーディンガー方程式と呼ばれるものは次に示すようなものでした。

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ここで一次元調和振動子におけるポテンシャルVを次のように置きます。

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こうしますと先に挙げたシュレーディンガー方程式は次のようになります。

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さらに変形させると、

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座標数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpの代わりに数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpを使って変数変換し数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpを用いて数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpを次のように置きます。

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一次元調和振動子におけるシュレーディンガー方程式の解を求めます。
作用素をチェーンさせ作用素そのものを変化させます。

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2階の作用素は次のように変形できます。

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この結果を使って先のシュレーディンガー方程式を変形していきます。

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ここで数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpを次のようにおいて、

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これを次々に微分していきます。
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ここでこれの解を、

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のようにおくと、

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よって、

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の式は次のようになります。

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さらに変形します。まず左辺第2項の形を変えます。 数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jp
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代入してまとめて… 数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jp
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整理すると次のような関係式が導かれます。

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これらの結果の意味は分子で数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpという条件を付けると数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpはゼロになって数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpは収束します。

 

数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpによって数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpが決定されることになりますが、これが発散しないようにすればよく、数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jp数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpとなるために数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jp

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より、

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nは0,1,2、…のように続くのでこのエネルギー単位“E”は数学,物理数学,一次元調和振動子,量子力学,mathematical.jpごとの均等なレベルで表されることになります。

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