2013年のいつだったか忘れた

テイラー展開

多項式の展開

テイラー展開

次のような式、

テイラー展開

この式を

テイラー展開

といった形にすることを考えてみます。
まず、式を次々に微分していくと、

テイラー展開

ここでxに1を代入してみると、

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

という結果が出てきますが、ここでテイラー展開の式をx=1と置くと、まず、

テイラー展開

次にテイラー展開を求めるためにテイラー展開の式をテイラー展開で微分して1を代入すれば、

テイラー展開

ちなみにテイラー展開の式の微分は合成関数を使っており、例えばテイラー展開の第3項は次のように美文を行っております。

テイラー展開

より、

テイラー展開

テイラー展開

といった感じで計算していきます。
さらに微分して同じように1を代入すれば、

テイラー展開

同様に、

テイラー展開

ここで注目すべきことは上記の結果を勘案すると以下のような関係があるということです。

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

以下の結果を使えばテイラー展開式は次のように表現できます。
テイラー展開

テイラー展開

ここまではテイラー展開についての多項式展開をしましたがそれ以外のテイラー展開に関しても同様になります。

テイラー展開

上記の式は3次の多項式ならば成立する式であり、
テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開を含む開区間でテイラー展開式のテイラー展開まわりで展開すると言ったりします。
ちなみに分母にあるテイラー展開というのは、Nのカイジョウとよび以下のように定義されるものになります。

テイラー展開

例えばテイラー展開だった場合、

テイラー展開

そして0のカイジョウは1になります。

テイラー展開

上記のやり方に手を加えたものでテイラー展開まわりのテイラー級数があり、これはマクローリン展開などといわれています。

テイラー展開

テイラー展開

例題

次に示す関数のテイラー展開周りでのテイラー展開(マクローリン展開)。

テイラー展開

(1)

テイラー展開テイラー展開でいくら微分していっても同じ結果が出てくるので0点まわりのテイラー展開

テイラー展開

に当てはめれば次のようになります。

テイラー展開

 

(2)

テイラー展開

テイラー展開

などとやって3階微分までやっていくと、

テイラー展開

のようになります。これを代入していけば、

テイラー展開

 

テイラー展開


 

 

 

設問の例

例題としては例えば次のような感じで出題されることもあります。
テイラー展開といった式があった場合、この関数テイラー展開を第3項までのべき級数展開して表示せよ、なんていう設問があった場合たいていは次のようにマクローリン展開して問題を解いていくことになります。

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

補遺

すべての級数がテイラー展開でうまくいくとは限りません。

例えば次のような式を級数展開する場合はテイラー展開をするとごちゃごちゃした式が出てくるので別の方法を使います。

テイラー展開

まず、

テイラー展開

のような級数を考えて、それにさらに定数項のテイラー展開を両辺に加えたものを用いて次のような式を導きます。

テイラー展開

ここでnを∞として仮定すれば、

テイラー展開

テイラー展開と置きます。

テイラー展開

 

テイラー展開


ここでいきなりでなんですが、この式の両辺を0から1の定積分をちょっと実行してみましょう。
まず右辺は、

テイラー展開

 

テイラー展開


一方、左辺の積分に関してですが、テイラー展開の微分は、

テイラー展開

であったので0から1までの定積分を行うと、

テイラー展開

 

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開


ここで右のアークタンジェントのグラフよりテイラー展開で交わるy軸の値、0.785…という数字は3.14…を4で割った数、テイラー展開になります。
テイラー展開

となるので結果、次のような関係式が導かれます。

テイラー展開

この式は結構有名な数式らしく、数学の読み物的なテキストなんかではたまに紹介されることもあるようです。

 

一般的にはグレゴリーの公式、またはライプニッツの公式などといわれているらしいです。

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