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備忘録も兼ねたブログ型Webコンテンツ置き場です。おもに物理数学をメインに扱いますが新規サイト用に作成したドラフト的なコンテンツもあります。

 

サテライトサイトは上部ヘッダーにそれぞれのリンクがありますのでそこからお好きなコンテンツへお入りください。
またトップレベルドメイン直下のウェブログコンテンツ(http://mathematical.jp/)の更新は数学以外の内容も扱ったりしています。コンテンツの更新ペースは管理人である私自身が多忙のため大体約1か月から半年に一回ぐらいに1記事ぐらいになると思います。
そのところを何卒ご了承くださいますようよろしくおながいしまスミダ<`∀´>

おながい…↓

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新着情報

 

サテライトサイトの紹介

 

慣性モーメントとは、簡単に説明すれば物体(剛体)の回転のしづらさ、回りだす変化のしにくさを示す物体の物理的な特性のことだと考えることができるでしょう。またさらに別の言い方をすれば回転の方程式といえるかもしれません。
このサイトは主にこの慣性モーメントの導出の仕方と計算法を中心に解説した内容になっています。

 

線形代数というのは現代科学に携わるものたちにとって好き嫌いに関係なくその技術・領域の知識は理論物理学においていたるところにでてきます。

 

もともとは連立方程式をシステマティックに解く技術から出発したものです。しかし現在の物理学にいたっては相対論や力学、さらには量子力学といった分野でその威力を発揮するものです。
線型代数

線形代数学という分野が現代の物理学において、空間を語るための言語といわれる所以は実はここにあります。
このサイトでは行列や行列式の違い、逆行列の求め方など中学高校生でもわかるように説明します。

 

ベクトル解析とは、空間ベクトルを用いた一種の物理数学ともいえる分野であり、現代の物理学におけるさまざまな分野において活用されている極めて重要な理論的概念です。特に電磁気学を理解するためには決して避けては通れない非常に重要な分野といえます。
しかしながら大学で習うベクトル解析というのは義務教育等で習う“ベクトル”とはだいぶ異なる形態を要しているので、初学者にとってとっつき難さを感じさせる部分が少なからずあります。

 

ベクトル解析

このサイトではこの部分をなるべく省き、わかりづらい表記や説明はなるべく避けながら数学の苦手な方でも理解できることを目的とし、さらにはビギナーにとって馴染みやすいように習熟させ、独学でこの分野における初歩的かつ基本的な内容を可及的速やかに理解かつ習得させるためのサポートを第一の目的としています。

 

解析力学とは、簡単に説明すればニュートン力学における運動方程式の記述を座標変換などの解析的な手法を用い、力学の現象を数学的に洗練された形にあらためて表現しなおしたものをいいます。内容的にはラグランジュ方程式、オイラー方程式の組み立て方、オイラー式を使った問題などの基本的な部分と、変分原理に関して典型的な事項についてのみ軽く説明してあります。

 


あくまで初学者、あるいは一般の方が、解析力学というものはどんなものかと知るような場合に適した内容になっているかと思います。ただしある程度の微分積分学の知識が必要です。

 

微分方程式とは式の中に独立変数とその関数さらにはその導関数を含んでいるものを含めていいます。微分方程式を解くということは与えられている式を恒等的に満たすものを求めることであり、その解には一般解と、さらには任意定数に特別な値を入れて求める特殊解などがあります。
微分方程式

西暦1800年前後において微分積分と呼ばれる数学分野がはじまり、それと同時に現実世界における自然現象の因果律を解明するものとして発展してきた学問なんだそうです。

 

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フーリエ級数の式、

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にそれぞれ数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp、および数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpをかけていった場合、次のような結果を得ました。

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EX

最初に出てきた周期数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの式、

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これを変形させると、

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数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpが周期数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpだとすると、

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角周波数が数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpのフーリエ級数は次のようになります。

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フーリエ級数の式、

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数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpをかけて計算していった場合、まず以下のような結果を得ます。

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今度はフーリエ級数の式に数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpをかけていって計算していきます。

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの導出

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積と和の順序を入れ替えてそれぞれの項を以下のようにおきます。

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トップレベルドメインにて週ごとに作成した内容のまとめ記事になります。
他ドメイン用に作成したまとめのドラフトコンテンツなので粗削りな説明になっていますが何卒ご了承ください。

フーリエ級数展開

ある関数数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpにおいて周期数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpを持つとすると、その関数数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpは次のような三角関数を使った級数に展開することができるとします。

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ここで上記式中の数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpを周期、角周波数を数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpと置くと、

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角周波数は

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これを先ほどのフーリエ級数の式に代入すれば、

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ベッセル方程式とベッセル関数で求められた解と仮定したベキ級数は、

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ここで次のような関数

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このガンマ関数というのを使うと、

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のような形になります。
続きを読む≫ 2017/03/12 09:12:12 特殊関数2017

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ベッセル方程式とベッセル関数で求められた解と仮定したベキ級数は、

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ここで次のような関数

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このガンマ関数というのを使うと、

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のような形に変形できるところまでやりました。
続きを読む≫ 2017/03/06 00:23:06 特殊関数2017

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ある複雑な関数において、例えばAの世界の現象をBの世界の関数に変換してそしてそれらを見通しをよくするといった、だいたいそんな感じの数学的論法にフーリエ変換と呼ばれるものがあります。
一般的にその形は積分の形で表され、範囲は数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpから数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpの積分領域の形で表現されます。

bessel img

 

以下に示すような微分方程式をベッセルの微分方程式といいます。

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この微分方程式の解を次に示すようなべき級数として考え、それを代入して具体的に求まる解を導いていきます。
まずそのべき級数を、

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のようにおいてそれを微分していくと、 数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式
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これらをまとめると次のような関係式が出てきます。
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続きを読む≫ 2014/06/01 19:28:01 特殊関数2014

 

前回の記事では量子力学における一次元調和振動子を扱いましたが古典的な調和振動子を扱う場合、たいていはバネ定数Kとした理想的なバネにつながれた質量mの物体の振動する様子を微分方程式に表して、その解を導き出すというのを大学の初年度のころに、または早いところでは高校生のころにすでにやったりしたという方もいるかと思います。

 

その古典的な調和振動子の運動方程式は大体は次のような式で表されます。

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この式の右辺が上記の0でない場合の式、

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のような振動方程式の解が、次のような初期条件、

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を課した場合どのような解が導かれるかを今回の記事のテーマにしてみたいと思います。やっぱネタ切れになってきたかもしれないというのはひ・み・つ・ニ・ダ
続きを読む≫ 2014/05/18 22:20:18 力学2014

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続きを読む≫ 2014/05/14 11:57:14 量子力学2014
テイラー展開

次のような式、

テイラー展開

この式を

テイラー展開

といった形にすることを考えてみます。
まず、式を次々に微分していくと、

テイラー展開

ここでxに1を代入してみると、

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

という結果が出てきますが、ここでテイラー展開の式をx=1と置くと、まず、

テイラー展開

次にテイラー展開を求めるためにテイラー展開の式をテイラー展開で微分して1を代入すれば、

テイラー展開

ちなみにテイラー展開の式の微分は合成関数を使っており、例えばテイラー展開の第3項は次のように美文を行っております。

テイラー展開

より、

テイラー展開

テイラー展開

といった感じで計算していきます。
さらに微分して同じように1を代入すれば、

テイラー展開

同様に、

テイラー展開

ここで注目すべきことは上記の結果を勘案すると以下のような関係があるということです。

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

以下の結果を使えばテイラー展開式は次のように表現できます。
テイラー展開

テイラー展開

ここまではテイラー展開についての多項式展開をしましたがそれ以外のテイラー展開に関しても同様になります。

テイラー展開

上記の式は3次の多項式ならば成立する式であり、
テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開を含む開区間でテイラー展開式のテイラー展開まわりで展開すると言ったりします。
ちなみに分母にあるテイラー展開というのは、Nのカイジョウとよび以下のように定義されるものになります。

テイラー展開

例えばテイラー展開だった場合、

テイラー展開

そして0のカイジョウは1になります。

テイラー展開

上記のやり方に手を加えたものでテイラー展開まわりのテイラー級数があり、これはマクローリン展開などといわれています。

テイラー展開

テイラー展開

続きを読む≫ 2014/01/01 00:07:01 微分積分2014

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