平行軸定理を利用した円錐の慣性モーメントの求め方

前回にひき続き円錐に関する慣性モーメントを考察していきます。

 

 

平行軸の定理

平行軸の定理とは、剛体の重心を通る慣性モーメントに対し、その慣性モーメントの軸とは平行な任意の場所における軸周りに関する慣性モーメントを求める際に利用される定理になります。

 

式としては次のようになります。

上記式において左辺が求めようとする任意の軸周りの（重心軸を通る慣性モーメントと平行な）慣性モーメント、右辺第１項が重心軸に関する慣性モーメントになり、第2項のが重心軸とは平行な軸までの距離、そしてが質量になります。

 

今回の場合、上記の定理をそのまま適用するのではなく、この場合移動させる距離変数が微小円盤要素の中に入っているので積分を実行する前の形において距離変数を組み入れ、それでで積分して目的の定理の第2項を導いていくことになります。

 

 

回転軸が円盤の中心を通り円盤と平行な場合の慣性モーメントの計算過程

円錐における任意高さにおいて、その任意高さでの厚さの円盤の慣性モーメントを求めますがまず最初に回転軸が円盤の中心を通りその円盤と平行な場合の慣性モーメントの導出をします。

円盤の慣性モーメントの導出

上記画像の円盤に関して、円盤の質量を、半径をとします。

 

また座標系は前回と同様にデカルト座標ではなく平面極座標のヤコビアンを使用して微小面積は、
面積がなので、この円盤の密度は、

 

 

さらにこの場合軸からの距離は、

 

これらによりは、

 

これを積分計算によって足し上げます。

先日つべを見ていたところ、moment of 〜というのが出ていたのでリンク先を見たら円錐の慣性モーメントの計算に関するものでした。

 

 

上図右側の円錐の絵は、映像のホワイトボードに出ている円錐の相似関係とは微妙に違いますが意味的には同じことなので絵の通りの相似関係で進めていきます（物理関連のサイト更新はしないと言ってますが、まぁ多少の気まぐれもありますﾆﾀﾞ<｀ω´>）。

まず熱力学の第一法則より、

これに対してと照らし合わせれば、

さらに(1モルの気体)によって、

コンプトン散乱の図、

これより このような関係式が導き出されたのでこのの式をそれぞれ具体的に計算して変形させていきます。

コンプトン散乱において相対論的な場を考慮するならば電子の質量は、 なので衝突前後の運動量の方程式、

は、次のようになりました。

エックス線の性質

医療用レントゲン撮影などでよく知られていますがこれの正体は厳密にいうと光と同じもので波長が違うだけの電磁波の一種になります。
また、このエックス線に類似した同じ電磁波としてガンマ線というのがありますがこれとのエックス線の違いは、原子核の中から発生するのがガンマ線であり原子核の外から発生する電磁波がエックス線になります。二つとも光と同じ電磁波の一種で普段目にする可視光線よりも短い波長を持ちます。
一般的にエックス線とガンマ線は波長の違いによる区別をしておりますが付け加えるとその発生機構の違いもあります。

熱換算量において、その変化が連続的であるならばそれを積分に書き直すと、 ある系が一つのサイクルによって仕事を外部に対して行っていった場合、トムソンの原理によりマイナス、またはゼロでなければならないので上記式の積分は、 式において等号はこのサイクルにおいて可逆的な場合に成り立ち、系がからへ準静的変化するとした場合、エントロピー変化の差はこの式に置ける積分を実行すれば、

エントロピーとは

私たちの普段の生活においてもわかりうることのように、熱というのは高いほうから低いほうへ移動しその逆はありえません。
その過程は簡単にいえば一方通行のようなもの、ひいてはその熱量の移動に関して元の状態には戻らない不可逆的なものであるということがいえるでしょう。その状態量の増加する様子をエントロピーといいます。
この示量性状態量をあらわすそれはで表し、また、系の可逆的なエネルギー循環ならばエントロピーは“０”であり、不可逆的な過程ならばエントロピーは増大していきます。

 

一般的に“乱雑さ”といわれますがこの乱雑さが増大するということを意味するので何かのエネルギー量が増えるというようなものではありません。

 

数式で示せば、まず系に加えられる熱量をとし、これに対してしたもの このときにおけるを取り出すと、 その過程は準静的に行われ、それによりエントロピーという状態量がだけ増すものと考えます（エントロピーの増大）。

コリオリ弾道軌道計算の修正

11月25日記事のコリオリ弾道計算において最後の積分は不定積分を行ってましたが時間0から時間tまでの飛行時間の発射を仮定しており、厳密には不定積分ではなく０→ｔの定積分が妥当だと思いましたので次のように計算式を訂正します。

x式の修正

ｚ式の修正

過去最大のクエーサー放出エネルギーを観測、太陽の2兆倍

http://www.afpbb.com/articles/-/2913865

ブラックホールの超高速ジェット、重粒子を含む可能性 豪研究

http://www.afpbb.com/articles/-/3003371

 

元々は2ちゃんの科学ニューススレから見つけてきたものなんですが結構面白い記事でしたのでスレ内のリンク先を引っ張ってきて取り上げてみました。
この内容だけでも非常に興味を引くと思いますが、さらにこうした事象における歴史的背景や数理論的な解釈などに関する解説なんかもあったらいいだろうなと思いましたので、今回はこれらの周辺知識についてやってみました。

 

以下の数式は回転座標系における見かけの運動力も考慮した運動方程式になります。 右辺第2項と第3項にあるのがその見かけの運動力を示す部分になりますが2項と3項の間にあるバッテンは、掛け算のバッテンではなく外積（クロスプロダクト）の表示です。この外積に関しての説明はこちらのサイトを参照してみてください。
前回の記事ではコリオリの力の説明のみで、実際の弾道計算などの内容はなかったので今回は具体的にその弾道計算を代数的にやってみようと思います。

物体（剛体）の回転に関する物理的特性を示す用語で“慣性モーメント”というのがありますが、それに関連する内容で“平行軸の定理”というのがあります。

 

これは物体の軸に関しての慣性モーメントがわかっているとき、これに平行な位置における軸に関しての慣性モーメントを求めるとき使われる計算法になります。

 

慣性モーメントの詳しい説明はこちら