【第0章】━ベクトルの概念

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ベクトル解析とは、空間ベクトルを用いた一種の物理数学ともいえる分野であり、現代の物理学におけるさまざまな分野において活用されている極めて重要な理論的概念です。特に電磁気学を理解するためには決して避けては通れない非常に重要な分野といえます。
しかしながら大学で習うベクトル解析というのは義務教育等で習う“ベクトル”とはだいぶ異なる形態を要しているので、初学者にとってとっつき難さを感じさせる部分が少なからずあります。
当サイトではこの部分をなるべく省き、わかりづらい表記や説明はなるべく避けながら数学の苦手な方でも理解できることを目的とし、さらにはビギナーにとって馴染みやすいように習熟させ、独学でこの分野における初歩的かつ基本的な内容を可及的速やかに理解かつ習得させるためのサポートを第一の目的としています。

ベクトルに関してのおさらい

“ベクトル”という概念は高校数学で習ったとおり、“方向”と、その“大きさ”をもった量です。 あるベクトルベクトルとベクトルベクトルBがあったとします。これの合成を考えれば下図(1)より、ベクトルaの始点からbの終点を結んだベクトルcの大きさです。

ベクトルの合成

さらに上図(2)より、ベクトルの差は和で表すことが出来ます。

ベクトルの合成

 

あるベクトルベクトルAにおいてx,y方向の成分をそれぞれAx,Ayと書き、そのx軸、Y軸の正の方向に対応した大きさが1のベクトルを 単位ベクトルvector ijとすると、ベクトルvector Aは、

vector A

さらに、このベクトルvector Aの大きさをvector Aとすれば、

vector A

零ベクトル

あるベクトルvector aがあるとし、そのベクトルと大きさが同じでありながら向きが正反対のベクトルがあったとします。それをvector -aとするならば、その加法を考えると

ゼロベクトル

始点と終点が一致しているためにこのように表現できます。これは向きを持つ線分とはいえませんので、これを、大きさがゼロの任意の向きを持つベクトルと考えゼロベクトルと表しましょう。

ゼロベクトル

内積(ドットプロダクト)

2つのベクトルベクトルA,Bがあったとし、これの作る角がthetaだったとします。

 

このとき

ベクトル,ベクトル解析

における左辺の部分を内積、またはドットプロダクトなどといったりします。

ベクトル,ベクトル解析

力の向きと変化ベクトルの方向が等しい時、コサインtheta0とすればよく、その場合には

内積の基本定理


となります。
次に3次元の場合においての単位ベクターの内積を考えてみましょう。
同じ単位ベクトルの内積は、theta=0より、

単位ベクトルの性質

単位ベクトルの性質


同様にして単位ベクトルの性質
異なる単位ベクトルの内積は、cosπ/2=0より、

単位ベクトルの内積

単位ベクトルの内積

同様にして単位ベクトルの内積の性質となります。

外積(クロスプロダクト)

図のような垂直磁場B[T]の中に、電流I[A]が流れている長さL[m]の銅線を置くと、その銅線には下図右側に示すような方向に力(電磁力)F[N]が働きます。

外積


上図においては磁場と電流の方向は垂直になっています。このときの電磁力の大きさは、

|F|=|B|I|L 	|F|=|B|I|L

“磁場”というベクトル」の大きさ磁場というベクトル “電流”というベクトル」の大きさ電流というベクトル
これらの“積”が、

 「“力”というベクトル」の大きさ


になります。
では、今度は磁場の向きと電流の向きが垂直ではない場合はどうなるでしょうか?
下の図のようにvector Bを角度thetaだけ変えたとします。

ベクトル,ベクトル解析

このようなとき、力の向きは同じですがvector Fの大きさが次のように変化します。

|F|=|B||I|L sinθ

任意の向きの磁場B[T]中で電流I[A]の流れる長さL[m](L>0)の銅線に働く力F[N]は、まとめると次のようになります。
大きさ |F|=L|I||B|sinθ(=|I||B|sinθ) 
向き vector i とb vector_img に垂直で、vector i からvector b へ回した右ねじの進む方向

ベクトル,ベクトル解析

右ねじの進む向きとしているので、このことにより

外積図

となります。つまり、

外積図

“外積は非可換である”ということが言えます。

このサイトの趣旨

◆閲覧対象者はおもに大学初年度の物理学科の学生を対称としていますが社会人や高校生などの一般の方に対しても、微分積分の簡単な知識があればあまり無理なく読み進めることが出来るかと思います。内容は内積及び外積などの数学的一般化から、ベクトルの微分積分、さらにはスカラー場・ベクトル場などの数学的取り扱い、そして発散(ダイバージェンス)及び回転(ローテーション)などの概念や計算法などとなっています。ページの進め方はページ下にあるnextボタンを押していけば順通りにページが進んでいく仕組みになっていますが、上部にあるヘッダーリンク、または左サイドバーのリンクからも目的とするページをクリックすればすぐに移動できるようになっています。

 

 

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