解析力学

よい子の低学年向け数学広場

 

 

analytical mechanics

○解析力学とは、簡単に説明すればニュートン力学における運動方程式の記述を座標変換などの解析的な手法を用い、力学の現象を数学的に洗練された形にあらためて表現しなおしたものをいいます。

 

解析力学コンテンツ

ラグランジュ運動方程式

ラグランジュ関数

変分原理

オイラーの方程式
変分問題

ハミルトンの方程式

 

Section 0

座標変換の簡単な例━ 【ベクトルの回転変換】
原点原点0を共通に原点0の周りに反時計回りに角度角度φだけ回転させた直交座標系を極座標極座標O−r、φ座標系とし、元の座標系極座標O−x、y座標系との関係。

 

ベクトルベクトルA:   ベクトルAの成分

 

座標変換画像

座標変換のイメージ

x座標y座標を極座標変数r,φで表すと

極座標変換r、φ

 

これを時間t(時間)で微分します。

 

xの時間微分式

xの時間微分式2

 

xの時間微分式3

 

yの時間微分式

yの時間微分式2

 

yの時間微分式3

 

座標変換

 

とすれば、

 

座標変換
座標変換

 

座標変換

 

さらに直交座標系における加速度成分を示すと、

直交座標系におけるxの加速度成分

直交座標系におけるyの加速度成分

 

これらより極座標成分による加速度成分を求めると、

 

極座標成分による加速度成分

 

極座標成分による加速度成分

極座標成分による加速度成分

極座標成分による加速度成分

 

極座標成分によるφ加速度成分

極座標成分によるφ加速度成分

極座標成分によるφ加速度成分

 

 

タイトルにでかでかと“解析力学”と書いてますが、内容的にはラグランジュ方程式、オイラー方程式の組み立て方、オイラー式を使った問題などの基本的な部分と、変分原理に関して典型的な事項についてのみ軽く説明してるだけなので、あまり詳しくはやっていません。

 

あくまで初学者、あるいは一般の方が、解析力学というものはどんなものかと知るような場合に適した内容になっているかと思います。ただしある程度の微分積分学の知識が必要です。

 

 

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