よいこの低学年むけすうがくひろば

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オイラーの式

ある関数の積分があるとします。
この差異を考えて、この時の変位をとするとこれが極値を持つ条件というのは、

 

 

をちょっとだけ動かしたものをとし、その導関数の変分をとると、

 

 

見てわかるように微分と変分は入れ換えることが可能です。

 

さらにに全微分の公式を適用すると次のようになります。

 

上記の式にを代入すれば、

 

 

さらにの式にこれを代入すると、

 

 

第２項の計算は部分積分を使います。

 

ここで上式の部分積分を施した右辺第一項は、端点を固定（同じポイント）しているので結果はになります。

 

 

(2.1)に代入すれば、

 

 

そしてこの積分がに対して結果でなければならないので

 

 

となります。これはオイラーの方程式、またはオイラーラグランジュ方程式と呼ばれているものです。

 

このオイラー・ラグランジュの方程式をつかって簡単な例を捉えてみましょう。

平面上の2点を結ぶ曲線で長さが最小になるものは直線です。このことをオイラー・ラグランジュ式を使って示してみましょう。

 

線要素の２乗は曲線のパラメーターとしてをとれば、

 

 

に対するオイラー・ラグランジュ方程式は、

 

 

よって(2.3)は、

 

 

となりやはり直線であることがわかります。（積分定数は、）

ここで任意のパラメーターをとった場合もやってみると、

 

 

なのでこれに対するオイラー・ラグランジュ方程式は、

 

 

 

両辺を連立させれば、

 

 

 

(2.4)式より、

 

 

さらに今度はパラメーターをにとれば

 

この時のオイラー・ラグランジュ方程式は直接変分計算を行います。

 

 

であることに注意し、上記の式に部分積分を実行すると次のようになります。

 

 

は任意の変分なのでそれぞれ、

 

 

出てくる積分定数をと置いていけば、