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微分積分2014

テイラー展開

次のような式、

テイラー展開

この式を

テイラー展開

といった形にすることを考えてみます。
まず、式を次々に微分していくと、

テイラー展開

ここでxに1を代入してみると、

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

という結果が出てきますが、ここでテイラー展開の式をx=1と置くと、まず、

テイラー展開

次にテイラー展開を求めるためにテイラー展開の式をテイラー展開で微分して1を代入すれば、

テイラー展開

ちなみにテイラー展開の式の微分は合成関数を使っており、例えばテイラー展開の第3項は次のように美文を行っております。

テイラー展開

より、

テイラー展開

テイラー展開

といった感じで計算していきます。
さらに微分して同じように1を代入すれば、

テイラー展開

同様に、

テイラー展開

ここで注目すべきことは上記の結果を勘案すると以下のような関係があるということです。

テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開

以下の結果を使えばテイラー展開式は次のように表現できます。
テイラー展開

テイラー展開

ここまではテイラー展開についての多項式展開をしましたがそれ以外のテイラー展開に関しても同様になります。

テイラー展開

上記の式は3次の多項式ならば成立する式であり、
テイラー展開

テイラー展開

テイラー展開を含む開区間でテイラー展開式のテイラー展開まわりで展開すると言ったりします。
ちなみに分母にあるテイラー展開というのは、Nのカイジョウとよび以下のように定義されるものになります。

テイラー展開

例えばテイラー展開だった場合、

テイラー展開

そして0のカイジョウは1になります。

テイラー展開

上記のやり方に手を加えたものでテイラー展開まわりのテイラー級数があり、これはマクローリン展開などといわれています。

テイラー展開

テイラー展開

続きを読む≫ 2014/01/01 00:07:01

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