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力学2013

力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

と表せるときデカルト座標における作用素の

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

が平面極座標において

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

のように変換しましたが今度は別の方法を考えてみましょう。

まず上記の座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学に対して全微分を施せば次のようになります。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

などのように計算していけば次のように求まります。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

今度は以下のようにそれぞれの式の両辺に次のようにdxにcosφ、dyにsinφをかけて両式を連立させてdrの式を導きます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

 

さらに次のように連立させて座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学の式を作ります。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学のそれぞれを座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学で全微分を施します。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

ここで座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学の式に対して座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学のそれぞれにおいて偏微分を実行すれば

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

これらの式を座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学の全微分の式へ代入すれば次のようになります。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

まず座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学のオペレーターに関して両辺を2乗します。

この計算において注意する点は左の作用素が右にある被作用素に対して積の微分を実行しているということです。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学
座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学
座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学


次に座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学に対しても同じように計算していきます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

 

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学
座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

 

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

辺々合わせれば次のように求まります。
座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学
続きを読む≫ 2013/10/16 15:04:16
座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

デカルト座標系において座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学が、

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

のように表せるとき次のようなオペレーター

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

が平面極座標においてどのように表現できるのかを考察します。
座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学に関して式中の変数座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学での一次近似での関数の変化量は全微分によって次のように与えられます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

続きを読む≫ 2013/10/07 19:09:07
極座標,時間微分


極座標における時間微分は次のようなものでした。

極座標,時間微分

さらに加速度は速度の時間微分によって

極座標,時間微分

極座標,時間微分

これを

極座標,時間微分

極座標,時間微分

の加速度の変換式に代入すれば

極座標,時間微分

続きを読む≫ 2013/09/29 10:04:29
極座標を示す単位ベクトルとして極座標,座標変換なるものを定義し、極座標,座標変換はそれぞれ
極座標,座標変換方向極座標,座標変換動径方向:極座標,座標変換方向 極座標,座標変換子午線方向:極座標,座標変換方向極座標,座標変換方位角方向 を表すものとします。
続きを読む≫ 2013/09/23 22:30:23

ラプラシアン,極座標,座標変換


ラプラシアン,極座標,座標変換

 

 

 

ラプラシアン,極座標,座標変換


ラプラシアン,極座標,座標変換

三次元作用素の表記は上記のように表し右の記号はナブラといいます。 そして三方向の2回微分の表記は次のようになり、一般的にラプラシアンといいます。

ラプラシアン,極座標,座標変換

 

前回までは2次元要素の作用素を回転座標系においてどのように変形するかを考察しましたが今度はこのラプラシアンの表記が、回転座標系においてどのように表現できるのかを考察します。
まず最初に3次元の座標系を2次元のふたつに分けて考えます。上記の三次元座標系の関係より、
ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

左の座標系の作用素変換はこの記事内で行っているので極座標変換後の作用素は、

ラプラシアン,極座標,座標変換

 

次に右の座標系におけるデカルト座標での作用素、

ラプラシアン,極座標,座標変換

の変換を行いますが、内容は記号が違うだけでほぼ同じですが一応念のため計算してみましょう。

 

上記のラプラシアン,極座標,座標変換座標系におけるオペレーターを座標内のラプラシアン,極座標,座標変換でのオペレーターに変換します。
まず一次近似により次のように全微分を施します。

ラプラシアン,極座標,座標変換

さらにラプラシアン,極座標,座標変換によって偏微分を行います。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

続きを読む≫ 2013/09/12 22:37:12

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