2014年5月18日

振動子の解

 

前回の記事では量子力学における一次元調和振動子を扱いましたが古典的な調和振動子を扱う場合、たいていはバネ定数Kとした理想的なバネにつながれた質量mの物体の振動する様子を微分方程式に表して、その解を導き出すというのを大学の初年度のころに、または早いところでは高校生のころにすでにやったりしたという方もいるかと思います。

 

その古典的な調和振動子の運動方程式は大体は次のような式で表されます。

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この式の右辺が上記の0でない場合の式、

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のような振動方程式の解が、次のような初期条件、

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を課した場合どのような解が導かれるかを今回の記事のテーマにしてみたいと思います。やっぱネタ切れになってきたかもしれないというのはひ・み・つ・ニ・ダ
まずここで上の微分方程式における基本解は、次のように、

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とできるので斉次式は次のように置くことができます。

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このように基本解が求まります。

 

次に特殊解を求めます。

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ここで上の式を次のように変形させましょう。

 

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上式の⇒の左側の左辺の式に関して()の中の分数数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpは定数なのでこの左辺の結果は結局数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpになるのでこのような置き方をしてもよいようになります。

 

また式を見てもわかるように、数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpは、先ほども出た基本解の、

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でもあります。
さらに具体的にこの特殊解を微分演算子法を用いて求めていきます。
まず数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpを考えていきます。

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と置く。

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特解の条件は数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

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次に数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpを求めます。

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より、

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よって一般解は初期条件を課した基本解と特殊解の組み合わせによる次のようなものがこの微分方程式における解になります。

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