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ガンマ関数とベッセル関数の微分変形@

ベッセル関数の微分による変形過程@

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ベッセル方程式とベッセル関数で求められた解と仮定したベキ級数は、

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ここで次のような関数

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このガンマ関数というのを使うと、

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のような形に変形できるところまでやりました。

ガンマ関数の性質

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この関数のそれぞれの主だった特徴は以下のようなものになります。

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式@の計算
定義式

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これをそのまま計算していきます。ちなみにこの計算では途中で次のよう部分積分の公式を使います。

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また上記式の0から無限大の部分の積分は次のような関係式を使っています。

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式Aの計算
まず定義式より

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この式の場合数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpの乗数部分に1を足したものになるので、

 

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Bの計算

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Cの計算
数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jp関数数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpの場合。

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ここでこの積分を実行するために変数変換をします。

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と置いて変形して代入していきます。

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と置くと先ほどの式は次のようになります。

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なので次のようになります。
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最後の積分は次に示すようなガウス積分の公式を使っています。

 

 

 

 

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数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpの右辺の計算

Aで求められた数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpの式において今度は右辺の部分を順々に計算していきます。
まずは、数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jp

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のように変形できました。
次に上式部分の数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpを具体的に計算していきます。

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となるので数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpは次のように展開変形できます。

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数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpの計算

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このような結果から結局のところ数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpが整数ならば次のように順々に計算していけば最終的に数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpに帰結します。
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なので最後に数学,物理数学,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpを求めればいいことになります。

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となるので次のような関係式が求まります。

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ガンマ関数とベッセル関数の微分変形@関連ページ

ベッセル関数の微分変形
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