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ガンマ関数とベッセル関数の微分変形A

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ベッセル関数の微分による変形過程A

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ベッセル方程式とベッセル関数で求められた解と仮定したベキ級数は、

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ここで次のような関数

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このガンマ関数というのを使うと、

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のような形になります。

先日求めたガンマ関数の性質

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先日に求めたこの関数の重要な性質として次のようなものを導き出しました。

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このガンマ関数の性質を応用して次に以下のようにします。
ベッセル関数の数学,物理数学,ブログ,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jp数学,物理数学,ブログ,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpをかけそのにν乗をし掛けた次のようなもの、

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のような式の中に先の求められた数学,物理数学,ブログ,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpが入った式を数学,物理数学,ブログ,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jpで微分していった場合、式がどのような形に変形できるかを検討してみます。

ベッセル関数の微分変形


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ここで先ほどの数学,物理数学,ブログ,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jp関数の性質、

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を使って上式の分母の部分を変形していきます。

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分母の中にある数学,物理数学,ブログ,微分方程式,ベッセル関数,mathematical.jp関数の中をいじります。
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のようになります。
整理すると、

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計算結果をまとめると次のような関係式が求まります。

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