2014年6月1日

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以下に示すような微分方程式をベッセルの微分方程式といいます。
この微分方程式の解を次に示すようなべき級数として考え、それを代入して具体的に求まる解を導いていきます。
まずそのべき級数を、 のようにおいてそれを微分していくと、

 

これらをまとめると次のような関係式が出てきます。

これらを元のベッセルの微分方程式の中にそれぞれ代入していきます。

 

ここで上記式の左辺第一項を次のように分けて考えます。

より、

第１項から、

第２項からを考慮すると、

さらに第３項から、

ここで式のなかのをと同じ正の実数と考えて次のようにします。

こうすると次のようになります。 kを０から順に代入していって式の変化を見ていくと、

こうした結果により奇数項はゼロになるのでこれを省くために新たにを用意して、


上記式のを次のように置きます。 これにより、

 

最初の式に当てはめれば、

となるので解と仮定したべき級数は、

 

さらに次のような性質を持つガンマ関数というもの、

このガンマ関数を用いた解をを使って次のように表します。

ベッセル関数の描画

いろんな値を代入したベッセル関数をグラフにするとこんな感じになります。