2014年6月1日

ベッセル方程式とベッセル関数

ベッセル関数と微分方程式

bessel img

 

以下に示すような微分方程式をベッセルの微分方程式といいます。

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式


この微分方程式の解を次に示すようなべき級数として考え、それを代入して具体的に求まる解を導いていきます。
まずそのべき級数を、

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

のようにおいてそれを微分していくと、 数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式
数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式
数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

 

これらをまとめると次のような関係式が出てきます。
数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式
数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式
数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

これらを元のベッセルの微分方程式の中にそれぞれ代入していきます。
数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

 

ここで上記式の左辺第一項を次のように分けて考えます。
数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式
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より、

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式 第1項から、

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第2項から数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式を考慮すると、

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式


さらに第3項から、

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

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ここで式のなかの数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式と同じ正の実数と考えて次のようにします。

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

こうすると次のようになります。

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

kを0から順に代入していって式の変化を見ていくと、

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

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こうした結果により奇数項はゼロになるのでこれを省くために新たに数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式を用意して、
数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

上記式の数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式を次のように置きます。

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

これにより、

数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

 

最初の式に当てはめれば、

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となるので解と仮定したべき級数は、

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さらに次のような性質を持つガンマ関数というもの、

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このガンマ関数を用いた解を数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式を使って次のように表します。

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ベッセル関数の描画

いろんな値を代入したベッセル関数をグラフにするとこんな感じになります。 数学,物理数学,ベッセル関数,特殊関数,ベッセル微分方程式

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