ロンスキアン@に出てきた行列式は2行2列の式、
でしたが厳密に書くと次のようなものになります。
このロンスキアンを使って求めたい定型数2階非同次微分方程式の一般解は、ロンスキアン@〜Bの過程より次のような式になることをやりました。
応用
いま高さに関するある関数が存在し、それが時間に依存し重力加速度も加わった次のような定型数2階非同次微分方程式を考えます。
ロンスキアン@〜Bまでの内容よりまず基本解から求めます。
上記式の右辺をと置いたとき式は、 となるので求める基本解をと置いて、
上記式の右辺をと置いたとき式は、 となるので求める基本解をと置いて、
これにより式、は、
なる2つの基本解を持つと考えられます。実際にロンスキアンを計算してみると、まず基本解の一階微分は、 なので求めたいロンスキー行列式は次のように求まります。
この結果により上記の2つの解は基本解だと考えることができます。
なる2つの基本解を持つと考えられます。実際にロンスキアンを計算してみると、まず基本解の一階微分は、 なので求めたいロンスキー行列式は次のように求まります。
この結果により上記の2つの解は基本解だと考えることができます。
より、
なので結果求める解は次のようになります。
実際に因果律を求めてみると、
これらをに代入して計算していきます。
これらをに代入して計算していきます。
となるので微分方程式、
の一般解は、
であることがわかります。
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