例えば次のような式、
この式は2階微分が入っており、変数以外の定係数が含まれるこういった微分方程式を一般的に2階非同次微分方程式などと言ったりします。
この形のロンスキアン行列式を使った定係数2階非同次微分方程式を解いていきます。
この式は2階微分が入っており、変数以外の定係数が含まれるこういった微分方程式を一般的に2階非同次微分方程式などと言ったりします。
この形のロンスキアン行列式を使った定係数2階非同次微分方程式を解いていきます。
ロンスキ―行列式の証明とその応用
定型数2階非同次微分方程式の解法
上記の2階非同次微分方程式を考え、さらに右辺の項を0として得られるような次のような微分方程式、のような式を同次式と言ったりします。
ここでいったん次のように、
を作用素として置くと上の同次と非同次のそれぞれの微分方程式は以下のようにあらわします。
式に対してがどちらでも解であるとするとを任意定数として考えたとき、その結合、
がの解と考えられ、この2つの関数がどんな場合においても次のような、
となる定数であるとするならば、
一次独立
ここでの式を微分して次のような連立方程式を考えます。
また上記式の、
これの行列式、
が0でないならば逆行列が存在するのでそのための積分定数のは0であると考えられ、このようなとき1次独立といってのような左辺を0と置いたときの斉次線形微分方程式における2個の(1次独立な)解をの基本解だと考えられます。
またこれに反して関数が1次独立でない場合はその関数を1次従属などと言ったりします。
1次従属
次のような関係式、逆に上記のロンスキアン行列式が、
考え方としては次のようなものが出来上がります。
上記のは斉次方程式の1次独立な解であるためこのロンスキアンはある区間内の任意の点において0にならない―
いまを斉次方程式の解とし、ある区間内の任意の点をとして一つだけ取ると、
斉次方程式の2つの解が1次独立であるための必要十分条件とは以下に示すような行列式が次のように0とならないことになります。
いまを斉次方程式の解とし、ある区間内の任意の点をとして一つだけ取ると、
の方程式、
を満たす定型数があると考えられるので、
とした場合、先に示した斉次方程式のを用いて、
では斉次の解と考えられ、任意の解の1次結合
であるとし、仮に定数がの関数と考えて次のような関係式、
であるとするならば次の式、
が1次独立であることを用いて、
斉次の解を上のとすると先ほどのはの解と考えられ、
これは同次方程式の一般解と置くことが考えられます。
ロンスキアン行列式@関連ページ
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