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ガウス関数のフーリエ変換

フーリエ変換

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ある複雑な関数において、例えばAの世界の現象をBの世界の関数に変換してそしてそれらを見通しをよくするといった、だいたいそんな感じの数学的論法にフーリエ変換と呼ばれるものがあります。
一般的にその形は積分の形で表され、範囲は数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpから数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpの積分領域の形で表現されます。
関数数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpを考え数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpを虚数単位とすると数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpのフーリエ積分表示を、

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中にある数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jp数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpのフーリエ変換とすると、数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpは、

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ここで次に示されるようなある関数を考えます。

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この式にフーリエ変換を適用していくと、

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このように数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpの世界の現象が数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpの世界の現象に置き換わっています。そうすると今まで数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpの世界で見ていた場合わかりずらかったものが、数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpに置き換わることで見通しが明るくなり、その現象がわかりやすくなるという利点があります。
その他の性質
またさらには指数関数の数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpには次に示すような

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といった形に変換できるのでこれを式に代入すると、
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この上記式において数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jp式が遇関数であれば右辺第2項は0、奇関数であれば右辺第1項のほうが0になるという性質があります。
この性質は、後に出てくるガウス関数のフーリエ変換計算式において利用しますのでとりあえずこういうものなんだなという感じで覚えておいてください。

ガウス積分の概要

無限区間における積分で俗にガウス積分と呼ばれるものがあります。
下の図は指数関数数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpを描画したものです。

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まず積分する範囲を数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpと置きます。その数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpを2乗したものに対して極座標を適用させると、

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のようになりますが、ここで次のように座標軸を互いに交換したもの、

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としても同じ求める積分範囲だということがわかります。ですので次のように求める積分式を変形させることが可能になります。 数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jp
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ここで数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jp数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jp数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpと置いて、

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これを微分して数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpの変換(置換)をして変数変換。

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この結果によって数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpは、

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プラスのほうをとれば

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ガウス積分のフーリエ変換

次のようなガウス関数に関してフーリエ変換数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpをしていった場合どのような方程式が得られるかを考察していきます。

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フーリエ変換式は、

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ここで次の性質

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これを代入して計算していきます。
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ここで出てきた積分式を次のように置きます。

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このI式に対して次のようにomegaに関しての偏微分を行ってみましょう。

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数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpより、

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出てきた上式の数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpをただの数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpと置き、さらに定数数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpを求めていきます。

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数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpを元に戻すと、

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数学,物理数学,ブログ,フーリエ変換,ガウス関数,mathematical.jpとすると、

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ガウス積分が出てくるのでこれを先ほどのやり方で同じように計算していきます。

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と置いて変数変換

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代入していきます。

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よって次のように求まります。

 

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