スカラー場：その数学的取り扱い

二次元のスカラー場を考えるとき、数学的には単にの関数がによって表現されます。

つまりの値（一つの座標点）が与えられたとき、その座標におけるスカラー場の値が決まります。

そしてそのスカラー場における勾配は偏微分で与えられます。

スカラー場の勾配

方向の勾配をまとめると、

これらを、、あるいはと書きます。

【例題①】

二次元スカラー場の勾配ベクトルの計算

などの合成関数微分を施して、

スカラー場の勾配ベクトル

なのでを次のように表します。

例題②

次に示す三次元スカラー場に対する勾配ベクトル場の導出。

などといった合成関数微分を施して、それぞれを計算します。