ベクトル解析その他重要な性質

ベクトル場の回転においての重要な性質を、ＲＯＴ計算を利用して証明してみましょう。

その①

あるベクトル場があったとします。

そのベクトル場に対して、

を満たすようなスカラーが存在するためには、に対してどういった条件が必要かを考えます。

まず次のように勾配ベクトルに対し、ナブラを左側から作用（オペレート）させます。

実際に計算していきます。

これにより、

が必要条件になります。

その②

あるベクトル場に対して、

を満たすようなベクトル場が存在するためには、に対してどのような条件が必要かを考えてみましょう。

あるベクトル場が、

と書けるとします。

このとき、ベクトル場のダイバージェンスを考えると、

です。したがって、

が必要条件になります。

実際にこれを証明してみましょう。

より、

これにより以下のような条件が証明されます。