円盤の慣性モーメントその①

円盤の対称軸に関する慣性モーメントの計算

半径が、質量がの円盤を考えます。

この円盤の中心を通りその円盤に垂直な軸の周りの慣性モーメントを求めてみましょう。

平面極座標による座標変換

まず座標系は２次元の平面極座標として捉えます。

このときの微小部分の面積はヤコビアンの計算により、

さらに全質量が、面積がであるので円盤の密度は、

軸からの距離は、

これらの結果によりは次のようになります。

積分によってたし上げます。

よって円盤の慣性モーメントは次のようになります。

円盤と平行な回転軸の慣性モーメントの計算

回転軸が円盤の中心を通り、その円盤と平行な場合の回転軸における慣性モーメントの計算をしていきます。

円盤の質量を、半径をとします。

先ほどと同じように微小面積は、

さらにこの場合軸からの距離は、

またはでもかまいません。

これらによりは、

これを積分によって足し上げます。

よって円盤面内の軸に関する慣性モーメントは以下のように求まります。