円柱の慣性モーメントの導出過程

円柱の重心を通る対称軸に関する慣性モーメントの計算

半径が、高さがで質量はとする円柱を考えます。

この円柱に対する軸、軸、軸周りの慣性モーメントをそれぞれとします。

円柱の体積はなので体積密度は、

使用するヤコビアンは円柱座標系、

を使います。

これによって円柱の微小体積要素は、

となります。

さらに、のとる範囲は、

以上のことをふまえて円柱の軸、軸、軸周りに関するそれぞれの慣性モーメントを求めていきます。

軸まわりの慣性モーメント

軸からの距離は、

これによりは、

これをたしあげます。

よって軸周りの円柱の慣性モーメントは以下のようになります。

軸まわりの慣性モーメント

基本的に軸周りの結果と同じことですが計算過程は示しておきます。

軸からの距離は、

これによりは、

これを足し上げます。

よって先に求めた軸周りの慣性モーメントの結果と同じ解が求められます。

軸まわりの慣性モーメント

からの距離は、

これによりは、

たし上げます。

よって円柱の軸周りの慣性モーメントは以下のように求まります。