偏微分

2つの変数がある場合の関数

１つの式の中に２つの変数がある場合の関数を考えてみましょう。
変数は２つあるので、このときの微分の仕方には次の２種類あります。

これを偏微分、または偏導関数といい、“”は分母にある変数で偏微分せよという意味の記号です。一般的には“ラウンド”などという呼び方をします。

計算法はとくに難しく考えるまでもなく、で偏微分するときは以外の変数は定数だとして普通に微分すればよいだけです。

たとえば次のような２変数関数について、とのそれぞれに偏微分を行ってみましょう。

についての偏微分は、

の偏微分については、

高階の偏導関数

問題

次に示す３変数間についてそれぞれの変数に関しての偏微分を行ってみましょう。

答え

2階偏導関数の微分

を１回偏微分すると、２通りの結果が出ることをやりました。

次は２回目、さらにはそれ以上の偏微分を繰り返していった場合、どういう結果が出るかを考察してみましょう。

先ほどのを２回偏微分すると、

この４通りがあることがわかると思います。さらに３回目の微分をすれば８通り、つまり個の結果が出ます。

また、の３変数関数に対して２回の偏微分をすれば、次のような結果、

という、通りの結果が現れてくるということがわかると思います。また、さらに３回目の微分を行えば通りの結果が出てきます。

実際に2階偏導関数の計算を行ってみましょう。

問題

次の２変数関数の２階偏導関数を求めてみましょう。

答え

なので、次はそれぞれをさらに微分していきましょう。

この結果からわかるようにとは結果が同じになります。

これは偶然などではなく微分する順番に関係なく結果が同じになるということです。

この結果により次のような事が言えます。

ただし有限回しか偏微分できないときは注意しなければなりません。