重積分学

2変数の積分

形としては次のようになります。

の意味

は座標系で表現したときの微小面積になります。

ただしこの微小面積は座標系によって異なります。

座標系に依存しない形ではと書き、先ほどのデカルト表現においてはになります。

ここでこのを図で考えてみましょう。

座標系がのとき、

点を考える

すべての変数をずらす

すべての経路によって囲まれた部分の面積が面積要素になる

デカルト座標系での

面積要素になる

極座標における微小面積の面積の求め方

これより以下のようになります。

求められた上記の式において、第一項が微少量の２次、第二項が微少量の３次になります。

ひとまず、この場面においては上記の微少量の３次はキャンセルできるとしましょう。

そうすると極座標における微小面積は次のように表現できることになります。