円錐の頂点底面重心周りの慣性モーメント

平行軸定理を利用した円錐に関する慣性モーメントの求め方

このセクションでは平行軸の定理を利用した円錐の頂点周り、円錐底面に平行で中心点を通る軸周りに関する慣性モーメント、さらには円錐の重心回りに関する慣性モーメントについて考察していきます。

この円錐の頂点周りの慣性モーメントに関しては、まず円錐内における底面と平行な法線面内における円盤とみなした部分の円盤の慣性モーメントを導きだし、それに対して平行軸の定理を使って目的とする頂点周り、底面周り、そして重心回りに関する慣性モーメントを導き出していきます。

平行軸の定理

平行軸の定理とは、剛体の重心を通る慣性モーメントに対し、その慣性モーメントの軸とは平行な任意の場所における軸周りに関する慣性モーメントを求める際に利用される定理になり式としては次のようになります。

上記式において左辺が求めようとする任意の軸周りの（重心軸を通る慣性モーメントと平行な）慣性モーメント、右辺第１項が重心軸に関する慣性モーメントになり、第2項の高さが重心軸とは平行な軸までの距離、そして円錐の質量質量が質量になります。

今回の場合、上記の定理をそのまま適用するのではなく、この場合移動させる距離変数が微小円盤要素円錐内の微小厚さ円盤部分の質量の中に入っているので積分を実行する前の形において距離変数微小円盤内の距離変数を組み入れ、それで微小厚さ微小円盤内の単位微小厚さで積分して目的の定理の第2項を導いていくことになります。

回転軸が円盤の中心を通り円盤と平行な場合の慣性モーメントの計算過程

円錐における任意高さにおいて、その任意高さでの厚さの円盤の慣性モーメントを求めますがまず最初に回転軸が円盤の中心を通りその円盤と平行な場合の慣性モーメントの導出をします。

円盤の慣性モーメントの導出

上記画像の円盤に関して円盤の質量を、半径をとします。

また座標系は前回と同様にデカルト座標ではなく平面極座標のヤコビアンを使用して微小面積は、 面積が円盤の面積なので、この円盤の面積密度は、

さらにこの場合軸からの距離は、

これらにより円盤のは以下のようになります。

なお途中の計算過程において三角関数の次のような公式を使用していきます。

これを使って以下のように積分式を計算していきます。

これにより円盤の重心を通り法線面と同一な方向軸に関する慣性モーメントは以下のようになります。

逆さ円錐の頂点周りに関する慣性モーメントの導出

円錐内の任意の高さにおける軸と平行な（頂点まわりの）慣性モーメントの導出

上記の円錐の任意の高さにおける軸に平行な軸に関する慣性モーメントを求めます。

まず最初に右のような円錐の高さに関する相似関係によって任意の高さにおける円盤の半径に関する距離変数ｒを求めます。

軸に平行な任意の高さにある重心を通る円盤面上の慣性モーメントを今仮に、その任意高さ高さにある微小厚さの円盤の質量をに平行な円錐の質量とします。

先ほど求めた円盤の重心を通り円盤と平行な軸に関する慣性モーメントは。

これにより微小厚さ微小厚さｄｚにおける重心を通り円盤面内と平行な慣性モーメント円盤面内の微小質量要素は以下のように置けることになります。

このとき、の質量は任意高さの円盤の面積がであり対象としている円盤の厚さが、さらに円錐に関してはその体積と質量は以下のようになります。

円錐の体積
円錐の質量

これにより円錐の体積密度は、

この時円錐中の円盤の微小厚さｄzの微小質量ｄｍの質量は任意高さzの円盤の面積が任意の高さｚにおける円盤の面積であり、対象としている円盤の厚さが円錐内の任意高さにおける円盤の微小面積ｄｚ、さらに円錐に関してはその体積と質量は以下のようになります。

よって微小厚さｄｚにおける円盤の質量ｄｍは以下のようになります。

これらを先ほどの距離変数に関してを代入してこれを積分によって足し上げて行きます。

よって平行軸定理の第一項の逆さ円錐内の任意高さ任意高さ逆さ円錐の任意高さｚにおける質量の微小質量逆さ円錐の任意高さｚにおける円盤質量における微小質量の重心を通る法線面内を通る軸に関する慣性モーメントは以下のように求まります。

平行軸の定理における第2項の導出

重複しますが右辺第2項に関しては定理をそのまま適用するのではなく、この場合、移動させる距離変数が微小円盤要素円錐内の微小厚さ円盤の質量ｄｍの中に入っているので積分する前の形を考えて距離変数距離変数円錐内の微小厚さzを組み入れ、そこではじめて微小円盤の微小厚さ微小円盤の微小厚さｄｚで全体を積分して目的の定理の第2項を導いていくことになります。

平行軸定理を紹介しているところでの式に関してかみ砕いて説明すれば以下のような状態から考察していくことになります。

、およびその他は同じなので微小質量部分のは同様にして、

ここで求める平衡軸定理の第2項をと置けばは、

これを積分によって足し上げていきます。

よって以下のように求まります。

求める円錐の頂点周りの慣性モーメントをここでとおけば、

これらに代入していけば次のように求まります。

円錐の底面周りの慣性モーメント

任意高さにおける円錐内の円盤の軸を通る円盤面内における慣性モーメントはすでに求まっていますがさらに視点を変えてあえて次のような座標における円錐の任意高さ中の円盤とみなした部分の慣性モーメントを求めていきます。

この座標系における変数に関しては次のような相似関係を持ちます。

また先ほどと同じように体積密度、微小部分質量は、

より同様にして円錐内の微小円盤要素の質量は次のようになります。

となるので先ほど求めた微小質量要素は同様にして、

ここで先ほどの逆さ円錐に関して軸に平行な任意の高さ任意の高さにおける軸上を通る円盤面上の慣性モーメントの結果をとおきましたが、結果的に同じ値になりますがひとまず区別をつけるために上記画像における高さの位置での円盤の慣性モーメントをとおきます。

距離変数をとして微小部分における慣性モーメントは、

微小部分における慣性モーメントは以下のように求まります。

より、

これに距離変数ｒを代入していき積分計算をしていきます。

ここで円錐の頂点から底面の中心点を通る慣性モーメントの積分計算と同様に次のように置いて変数変換をします。

とおけば、

これにより積分範囲は次のように変更になります。

なので次のように計算していきます。

よって頂点周りにおける前段階の計算過程において出てきた円錐内の円盤に関しての慣性モーメントと同様に次のような計算結果が求まります。

さらに任意高さの円錐における円盤面の法線に平行な慣性モーメントに対して平行での距離だけ下方向へ移動した円錐の底面における軸周りの慣性モーメントをとおいて、その平行軸定理の第2項をと置きます。

そうするとは平行軸の定理により、

以上の結果により平行軸定理における第2項の移動変数の微小部分に関する慣性モーメントは以下のようになります。

これをからにわたって積分計算していきます。

これによりは以下のように求まります。

そうすると求める平行軸の定理を使用した円錐の底面周りの軸に関する慣性モーメントは以下、

なので、これに代入すれば円錐の底面周りに関する慣性モーメントは以下のように求まります。

円錐の重心

円錐の重心の求め方

ここでおさらいの意味を含めて左の図を使って円錐の重心を計算していきます。

この画像の円錐は均一な質量とし、円錐の高さが、底面半径をとします。

円錐の体積は、

円錐の質量を先ほどのと置けば体積密度は、

微小厚さの円盤の質量は先ほどと同じようにして、

軸上にあると考えられるので軸線軸上の任意の高さの位置を距離変数として、

また距離変数に関しては底面周りの慣性モーメントを求めた際のものを使用するので以下のようになります。

求める重心の値をとおいて次のように計算していきます。

これにより円錐における重心の値は以下のように求まります。

またこの結果によって円錐の頂点の位置からの重心までの距離はということになります。

円錐の重心周りに関する慣性モーメントの導出

この重心に関する慣性モーメントを平行軸の定理を使って求めていきます。

絵のようなクラッカー（円錐の物体）を考えたとき、その先っぽ（頂点）をもって上のほうにポーンと投げると、大体はクラッカー（円錐）の底面と平行にして、クラッカーの胴体部分あたり（重心）を中心にくるくる回るということが経験的にわかるかと思います。

円錐に関しての重心周りの慣性モーメントの導出

円錐に関するそれぞれの頂点と底面周りに関する慣性モーメントの結果は次のようになりました。

円錐の頂点周りにおける円錐に関しての慣性モーメントの結果

円錐の底辺周りにおける円錐に関しての慣性モーメントの結果

ここでさらに平行軸の定理を利用します。

この時、円錐の質量は定数の円錐の質量と決まっているので今までの距離変数を使用した前段階の積分計算は必要ありません。

なので平行軸の定理をそのまま使用する（できる）ことになります。

頂点周りの慣性モーメントと、底面の中心点を通る法線面に平行な慣性モーメントは、円錐の重心を通る底面に平行な軸に関する円錐の重心に関する慣性モーメントをと置いた場合、次のように表現できることになります。

上記式より、

これにより平行軸定理を使った円錐の重心周りの慣性モーメントに関して次のような連立方程式が導かれます。

これらを一連の連立方程式ととらえてについて計算していきます。

より、

よって以下のように求まります。

平行軸の定理を利用した円錐に関する頂点周り、円錐の底面の中心軸を通りその法線面と平行な軸周り、さらには円錐の重心周りに関する慣性モーメントに関してその結果をまとめると以下のようになります。

円錐の頂点周り
円錐の底面回り
円錐の重心周り

このように平行軸の定理というのは始めのうちは何かとややこしそうに思えますが一度きちんと理解し使えるようになれば、実は大変便利で非常に役に立つ定理であることがこのチャプター（平行軸定理と慣性モーメント）の学習を一通りをとおして十分にお分かりいただけたかと思います。