一次元調和振動子とは

シュレーディンガー方程式における一次元調和振動子の挙動

力学の分野において理想的なバネにつながれた物体の振動する様子を示したものを一般的に調和振動子などと言ったりしますが、その調和振動子に量子力学においてよく出てくるシュレーディンガー方程式という式に当てはめていった場合、数式的にどのような振舞を示すかを考察します。

以下がいつもよく見かけるシュレーディンガー方程式になります。

シュレーディンガー方程式と呼ばれるものは上に示すようなものでした。

ここで一次元調和振動子におけるポテンシャルエネルギーを次のように置きます。

こうすると先に挙げたシュレーディンガー方程式は次のような形になります。

この微分方程式を解くために座標の代わりにを使って変数変換しを用いてを次のように置きます。

一次元調和振動子におけるシュレーディンガー方程式の解を求めます。 作用素をチェーンさせ作用素そのものを変化させます。

これにより2階の作用素は次のように変形できます。

これらの結果を使って先ほどのシュレーディンガー方程式を変形させていきます。

といった具合で最初に出てきたシュレーディンガー方程式は、上に示されるような形に変形させた微分方程式が出てきます。

ベキ級数による級数解法

これの解を求めていくのですが通常のやり方でいくとうまく解が求まりません。そこであるベキ級数を解と仮定する“級数解法”というやり方をしていってこの微分方程式を解いていきます。

解と仮定したを次のように置きます。

これを次々に微分していきます。

代入していきます。

以下のように求まります。

ここでこれの解を次のように置きます。

こうすることにより、微分していけば、

よって、

の式は次のようになります。

さらに変形していきます。

代入してまとめます。

整理すると次のような関係式が求まります。

これらの結果により分子のほうでという条件を付けるとはゼロになりは収束します。

によってが決定されることになりますがこれが発散しないようにすればよく、でとなるために。

これより、

より、

この結果によってはのように続くのでエネルギー単位はごとの均等なレベルで表示されることになります（連続ではなく飛び飛びのものとして奇妙な扱われ方をするということを意味している）。