フーリエ変換
フーリエ変換とは
フーリエ変換とは、関数を入力として受け取り、もとの関数に対して周波数がどのように存在するかを別の関数によって出力する積分変換法になります
まずある関数
を考えます。ここで虚数単位を
とすると、のフーリエ積分表示は、
このときの上記式内の
をのフーリエ変換といい、具体的には次のように書きます。
実際の現象を微分方程式などに置き換えた場合、その因果律を導き出すということは簡単なことではありません。
そこでこのフーリエ変換という技法を使うとその現象がわかりやすくなるという利点があります。
例えばつぎに示すような方程式があったとします。
これに対して実際にフーリエ変換を施すと次のようになります。
これより、
こうすることにより
の世界における現象が
の世界の現象に置き換わっています。そうすると今までの世界で見ていた場合わかりずらかったものがに置き換わることで見通しが明るくなり、その現象がわかりやすくなるという利点があるからです。
普段私たちが生きている世界において、さまざまの現象や問題に対し研究や調査によりその理解を助けるためにはある視点を別の視点から（位相を変える）見通せば新たな視点が得られ理解が深まるということが経験上よくあることと思います。これは、Aという世界だけで見ていたものをBという世界で見た場合、以前はわかりにくかった現象が明確になり、理解しやすくなることを意味します。
このような視点の切り替えは、問題解決や知識の獲得においてきわめて有効な手段であるといえ、さらには新たな洞察をもたらすことがあります。
具体的な例
ド・ブロイ波のフーリエ変換
以下のような波形の関数を考えます。
この式に対してフーリエ変換を施せば次のようになります。
これを実際にフーリエ変換による計算をしていきます。
ここでいったん次のように置換して微分をして変数変換をします。
これを代入してさらに計算していきます。
またさらに次のように
に関して
を使って変数変換をしていきます。
これを代入します。
積分部分は上記のようにガウス積分になっています。
ガウス積分の公式は次のようなものでした。
これを代入します。
最終的に次のように求まります。
でてきた式を見ればわかるように先ほどのの世界のものが
だけの式に置き換わっています。こうすることにより今まではわかりずらかった現象がフーリエ変換を施すことによって見通しがよくなったりします。
このように、フーリエ変換さらにはラプラス変換といった数学分野はきわめて有用なツールになります。このカテゴリーではフーリエ変換に対して様々な視点から考察していきます。
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コリオリの力とは
フランスの科学者で軍属でもあったガスパール・ギュスターブ・コリオリ
初歩的な力学の分野において慣性系に関する話の中にコリオリの力というものがあります。
この“コリオリ”とは人の名前であり地球が回転することによっておこる見かけの運動力を、回転座標上で移動したときの移動方向と垂直な方向に受ける慣性力の一種を数式で表現したものになります。
一般的にこのコリオリという人物は科学者という記述が多いのですが実は軍人でもあったことはあまり知られていないようです。
北半球において大砲を撃ったとき、その弾道が標的よりもわずかに右にずれることを数式によって説明した人物ということで自衛隊でも多少知られた存在らしく、話の小ネタとして話題になることもありました（おそらく重迫撃砲(ヘヴィモータ)などではコリオリの力による弾道補正が必要になるためだと思います）。
回転座標で運動する物体
円運動の角度を、周囲に沿った距離を
、ボールの速度を
、慣性力を
とおくと、
上の図は、矢印の通りに回転させた円盤を真上からみたものであり、中心から外側へ投げた球があたかも右のほうへずれたように見えるその様子を表したものです。中心部分にいる人物は図の
の方向へ投げたつもりが
のほうへまるで曲がって投げたように見えてしまいます。
はは動径方向に垂直な方向に働く慣性力とし、一定加速度での移動距離は
の形で表せるので、
この力をコリオリの力と呼び、回転座標系で運動する物体に加わる慣性力のことを言います。
この力を実際に数式を使って具体的に表現してみましょう。
左の座標系が3次元での回転、右の座標系の図が２次元での回転を表したものになります。
これより回転座標系において時間変化した角度をとすれば以下のように表せます。
または、
これを時間で微分します。
上記式を再度時間微分します。
力
と
の間の関係は次式で表されます。
さらに
系（慣性系）では次のような運動方程式、
が成り立つので上の式の結果を用いて
を表せば、
これらを代入し
系の座標について整理すれば、
は回転系座標から見た加速度運動で、運動の原因となる力としてのほかに2つの力が加わった形であり、右辺第2項、第3項は見かけの力（慣性力）を示しています。
右辺のそれぞれの意味は、
| 右辺第2項（コリオリの成分） |  |
| 右辺第3項（遠心力の成分） |  |
を示しています。
回転座標系をまとめてみると次のようになります。
慣性系に対して運動する座標系
| 1. | 等速度運動する座標系は慣性系となる（ガリレイ変換） |
| 2. | 加速度運動する座標系は非慣性系（見かけの力＝慣性力）を考える
 |
| 3. | 回転運動をする座標系は２種類の見かけの力を考える
|
これらを踏まえて今度は長距離射撃におけるコリオリ弾道軌道計算を考えていきましょう。
次回に続きます。