ラグランジュ関数
ラグランジュ関数
速度
で運動している質量
の運動エネルギー
これの変分を考えてみましょう。
簡単のために運動は
軸方向のみを考え、そのずれの時間を
から
とします。
まず、自体の時間に対する変分と微分の関係を求めます。
さらに運動エネルギー
の変分を考えれば、
この出てきた上記
の式に関して両辺を
で積分します。
さらに上記積分式の右辺の
ののみ以下のように微分表記にします。
ここで微分と変分の入れ替えが可能なので次のようになります。
上記式の右辺に対してさらに部分積分を適用しますが、この時右辺の積分に関しては端点を固定しているので結果
になることに注意すれば以下のようになります。
となるので次のように求まります。
力がポテンシャルエネルギー
などの保存力だった場合は、
そしてこれの変分を考えれば、
これを部分積分の結果に代入します。
途中微分と変分を入れ替えています。
さらに以下のように式変形をしていきます。
このように停留値をとらせるようなものになっており、実現される運動はこれを満たすものだと考えることが出来ます。
ここでこの
を
とおき、オイラーの方程式と対応させれば、
これより以下のような式が決まります。
これを
に拡張すれば、
またさらにここでを
と表せば、
一般化運動量は、
ある質点の運動
ある質点
の運動を考えてみましょう。
を水平面とし
を鉛直上向きに座標を取ります。
そうするとラグランジアンは、
となるのでこれをラグランジュの式に当てはめれば、
となるので結果は次のようになります。
このカテゴリーではラグランジュ関数を使った弦及び3重ばねの連成振動、2重振り子の微小な場合とそうでない場合の考察を行っていきます。
コリオリの力とは
フランスの科学者で軍属でもあったガスパール・ギュスターブ・コリオリ
初歩的な力学の分野において慣性系に関する話の中にコリオリの力というものがあります。
この“コリオリ”とは人の名前であり地球が回転することによっておこる見かけの運動力を、回転座標上で移動したときの移動方向と垂直な方向に受ける慣性力の一種を数式で表現したものになります。
一般的にこのコリオリという人物は科学者という記述が多いのですが実は軍人でもあったことはあまり知られていないようです。
北半球において大砲を撃ったとき、その弾道が標的よりもわずかに右にずれることを数式によって説明した人物ということで自衛隊でも多少知られた存在らしく、話の小ネタとして話題になることもありました（おそらく重迫撃砲(ヘヴィモータ)などではコリオリの力による弾道補正が必要になるためだと思います）。
回転座標で運動する物体
円運動の角度を
、周囲に沿った距離を
、ボールの速度を、慣性力を
とおくと、
上の図は、矢印の通りに回転させた円盤を真上からみたものであり、中心から外側へ投げた球があたかも右のほうへずれたように見えるその様子を表したものです。中心部分にいる人物は図の
の方向へ投げたつもりが
のほうへまるで曲がって投げたように見えてしまいます。
はは動径方向に垂直な方向に働く慣性力とし、一定加速度での移動距離は
の形で表せるので、
この力をコリオリの力と呼び、回転座標系で運動する物体に加わる慣性力のことを言います。
この力を実際に数式を使って具体的に表現してみましょう。
左の座標系が3次元での回転、右の座標系の図が２次元での回転を表したものになります。
これより回転座標系において時間変化した角度をとすれば以下のように表せます。
または、
これを時間で微分します。
上記式を再度時間微分します。
力
と
の間の関係は次式で表されます。
さらに
系（慣性系）では次のような運動方程式、
が成り立つので上の式の結果を用いて
を表せば、
これらを代入し
系の座標について整理すれば、
は回転系座標から見た加速度運動で、運動の原因となる力としてのほかに2つの力が加わった形であり、右辺第2項、第3項は見かけの力（慣性力）を示しています。
右辺のそれぞれの意味は、
| 右辺第2項（コリオリの成分） |  |
| 右辺第3項（遠心力の成分） |  |
を示しています。
回転座標系をまとめてみると次のようになります。
慣性系に対して運動する座標系
| 1. | 等速度運動する座標系は慣性系となる（ガリレイ変換） |
| 2. | 加速度運動する座標系は非慣性系（見かけの力＝慣性力）を考える
 |
| 3. | 回転運動をする座標系は２種類の見かけの力を考える
|
これらを踏まえて今度は長距離射撃におけるコリオリ弾道軌道計算を考えていきましょう。
次回に続きます。