ラグランジュの運動方程式
運動方程式の一般化
デカルト座標においての運動方程式の座標成分は、同じ運動を極座標系の動径方法と方位角方向のそれぞれで表せば、
同じ運動を極座標系の動径方法と方位角方向のそれぞれで表せば、
この運動を別の形で表現してみましょう。
運動方程式の変換
座標系においてある質量の平面運動について考えます。
この質点にある力
が働き、そのために微小変化
が加わったとします。
この時に作用した力による微小仕事は、
で与えられます。
ベクトルをそれぞれ分解して表せば次のような式が求まることになります。
ここで上記式の
と
をそれぞれ
、
と置きます。
すると、
と表現できます。
この時の、を一般化力といいます。
運動量は
だったのでそれぞれの力に分解すれば、
いまここで運動エネルギーについて考えると、
なのでこの式より、
となります。
したがって次のように表現できることになります。
極座標において速度ベクトル
は、
と表せるので、運動エネルギー
に関しては、
これにより、
ここで上記運動方程式を時間
でそれぞれ微分します。
かつ、
これらの式をそれぞれ照らし合わせれば次のように表すことができます。
ここで
の式に着目してみると外力
のほかに
というのが含まれています。
この式の右辺を
とすると、
また、
であることを考慮すれば、
これにより以下のような関係式が求まります。
一般化座標と一般化力
デカルト座標に代わってすべての質点系の位置を特定するのに用いられる変数群を一般化座標といいます。
デカルト座標と一般化座標の間には座標変換に伴う変数関係、
があり、上記の
を時間で微分すると次のようになります。
デカルト座標系の
は時間の関数であるので一連の座標変換により（
も時間の関数
）、はの関数になるためにこのような微分表現になります。
いま、質点系の各質点が微小変化し
が
になったとします。
このときの
の変化は、
この変位に対して力のする仕事は、
先ほどの
を代入すれば、
ここで、
とおけば、
この
のことを一般化座標における一般化力といいます。
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コリオリの力とは
フランスの科学者で軍属でもあったガスパール・ギュスターブ・コリオリ
初歩的な力学の分野において慣性系に関する話の中にコリオリの力というものがあります。
この“コリオリ”とは人の名前であり地球が回転することによっておこる見かけの運動力を、回転座標上で移動したときの移動方向と垂直な方向に受ける慣性力の一種を数式で表現したものになります。
一般的にこのコリオリという人物は科学者という記述が多いのですが実は軍人でもあったことはあまり知られていないようです。
北半球において大砲を撃ったとき、その弾道が標的よりもわずかに右にずれることを数式によって説明した人物ということで自衛隊でも多少知られた存在らしく、話の小ネタとして話題になることもありました（おそらく重迫撃砲(ヘヴィモータ)などではコリオリの力による弾道補正が必要になるためだと思います）。
回転座標で運動する物体
円運動の角度を
、周囲に沿った距離を
、ボールの速度を
、慣性力を
とおくと、
上の図は、矢印の通りに回転させた円盤を真上からみたものであり、中心から外側へ投げた球があたかも右のほうへずれたように見えるその様子を表したものです。中心部分にいる人物は図の
の方向へ投げたつもりが
のほうへまるで曲がって投げたように見えてしまいます。
はは動径方向に垂直な方向に働く慣性力とし、一定加速度での移動距離は
の形で表せるので、
この力をコリオリの力と呼び、回転座標系で運動する物体に加わる慣性力のことを言います。
この力を実際に数式を使って具体的に表現してみましょう。
左の座標系が3次元での回転、右の座標系の図が２次元での回転を表したものになります。
これより回転座標系において時間変化した角度をとすれば以下のように表せます。
または、
これを時間で微分します。
上記式を再度時間微分します。
力
と
の間の関係は次式で表されます。
さらに
系（慣性系）では次のような運動方程式、
が成り立つので上の式の結果を用いて
を表せば、
これらを代入し
系の座標について整理すれば、
は回転系座標から見た加速度運動で、運動の原因となる力としてのほかに2つの力が加わった形であり、右辺第2項、第3項は見かけの力（慣性力）を示しています。
右辺のそれぞれの意味は、
| 右辺第2項（コリオリの成分） |  |
| 右辺第3項（遠心力の成分） |  |
を示しています。
回転座標系をまとめてみると次のようになります。
慣性系に対して運動する座標系
| 1. | 等速度運動する座標系は慣性系となる（ガリレイ変換） |
| 2. | 加速度運動する座標系は非慣性系（見かけの力＝慣性力）を考える
 |
| 3. | 回転運動をする座標系は２種類の見かけの力を考える
|
これらを踏まえて今度は長距離射撃におけるコリオリ弾道軌道計算を考えていきましょう。
次回に続きます。