第０章 ━ 微分方程式の概念

微分方程式とは式の中に独立変数とその関数さらにはその導関数を含んでいるものを含めていいます。微分方程式を解くということは与えられている式を恒等的に満たすものを求めることであり、その解には一般解と、さらには任意定数に特別な値を入れて求める特殊解などがあります。西暦１８００年前後において微分積分と呼ばれる数学分野がはじまり、それと同時に現実世界における自然現象の因果律を解明するものとして発展してきた学問なんだそうです。

微分方程式は大まかに分けて言うと次の２つに分類されます

• 常微分方程式
常微分方程式－関数とその導関数、独立変数を含む方程式で独立変数の数は一つのもの


• 偏微分方程式
偏微分方程式－ある関数のなかに変数がなどその導関数も含めて2つ以上のような多変数存在するもの

微分方程式のいくつかの例

例１

上記の式の両側をで微分します。

これをさらに微分すると、

以上のように求まるので整理すれば次のような方程式が求まります。

【例2】円に関する考察

次の円について考察してみましょう。

この円に関しての方程式は、

これをで微分するとどうなるでしょうか？

実際にやってみると、

求められた式を整理すると以下のような方程式が求まります。

これは円の接線方向の傾きを意味しています。

【例３】力学への応用

一様な重力場中における質点の力学的エネルギー

全微分の式を使って、力学的エネルギーが時間によらず一定、

つまり、

であることの証明をします。

ちなみに時間で微分する場合はなどという書き方をします。

意味的にはと全く同じになります。

呼び方はドットとといいますのではワイのワンドットなどといったりします。

力学的エネルギーの式には変数がとの2つになっているのでと表せます。

これに対して全微分の式を適用させれば、

の式に対してそれぞれで偏微分します。

先ほどの全微分の式に対してこのの偏微分の式を代入します。

この式をスカラー倍します。

ここでより。

これにより、

よっては時間によらず一定であることがわかりました。

上記にあげたコンテンツが微分方程式の簡単な参考程度のものです。

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