モーメント母関数とは

ある確率変数に対して、の期待値をのモーメント母関数、または積率母関数などといったりします。
ガウス関数のフーリエ変換のコンテンツでやったようにこのモーメント母関数というものも、ある現象では見通しが悪かったものがこのモーメント母関数というのを利用して別の角度からとらえてみると見通しが良くなったりすることがあります。フーリエ変換の確立関数版みたいな感じです。

次のような式で表現されます。

上記式の（１）を離散型、（２）のほうを連続型などというそうです。

モーメント母関数の微分

1階微分

ここでを代入すると、

2階微分

2階微分では、

同様にしてを代入すると、

分布関数のモーメント母関数計算

正規分布関数

上記式はこのサイトで何回か出てきているお馴染みの関数“正規分布関数”と呼ばれるもので、式中のは平均、は分散を表しています。
この式をモーメント母関数にしたがって表記すると次のような式になります。

正規分布関数のモーメント母関数を求めるために上記の式を実際に計算（積分）していきます。
まず見やすいようにするために上記式中のの部分だけを抜き出して計算していきます。

ここでさらに見やすいようにの乗数部分を抜き出してそこの計算を行います。

よって正規分布関数のモーメント母関数の式は次のような式に変形できます。

ここで次のように置換します。

これを代入すれば、

さらにまたの乗数部分をとおいて置換していきます。

よって正規分布関数の求められるモーメント母関数は次のようになります。