ブラックショールズモデル導出への道しるべ

今、周期的ではない関数があったとします。

このとき、

周期

と考えることが出来るかと思います。

こういったとき、フーリエ級数はフーリエ積分とよばれるものになります。

上記式の、は以下のようになります。

実際に代入してみると、

ここで三角関数の関係式

より、

これをフーリエ積分公式などといったりします。

熱伝導方程式を解く際にこの上記の公式に例えば乗数に変数のついたが一緒にある場合の計算が必要になります。

一応そういった場合の積分公式があるようなのですが、それだと応用がきかないので例題でその解法を示したいと思います。

ただしこの積分は答えを出すまでが少々厄介です。

■フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数■

とのグラフを見ればわかるように、軸を中心に考えるとそれぞれが左右対称と非対称に分かれています。

こうした場合、その遇奇性によりはなので遇関数、
はなので奇関数であるといえます。

つまり求めるフーリエ級数展開においてが遇関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数のそれぞれのどちらか一方がになります。

例えば、関数が遇関数であるとしに拡張し周期の周期関数にすると、この周期関数のフーリエ級数展開は次のようになります。

区間は次のよう和の記号を用いて級数に展開することが可能であるとします。

このように表現されるとき、上式の右辺、

の部分をフーリエ級数展開といいます。

右辺式中のは次のようになります。

実際にを求めます。