無限区間における積分で俗にガウス積分と言われるものがあります。
下図は指数関数
を描画したものです。
この関数を
から
の範囲において積分を実行すればどうなるでしょうか？
その答えを単刀直入に書くと次のようになります。
はじめて見た方は多分驚くかと思いますがこういう結果が確かにまかり通っています。
そのためこの積分のことを、ガウスのインチキ積分などといったりするものがたまにいます。
ここでは大学で受けたときの自分の講義ノートを参考に説明したいとおもいます。
微分積分
このチャプターでは微分積分仁おける基本的な計算からそれらを発展させた全微分、偏微分さらには置換積分部分積分、ガウス積分などについて説明していきます。
公式としては次のようになります。
の右上についている
という記号は一回微分したという意味です。
具体的に表せば次のような構造になっています。
２つの関数が積の形になっているものでその左辺のどちらかの関数を微分してある関数と考えて右辺に書かれているような形におくという作業をします。
【関数の変数変換】
積分の計算というのは主に積分の公式が使えるように変形させるという行為が非常に重要になってきます。
例えば次のような形の積分を実行するにはどうすればよいかを考えます。
こういったものの場合、ほかのある変数で置き換える（置換）という作業をします。
上記の問題ではまず括弧の中の
に着目してそれを仮に
とおきましょう。
それを
微分すると、
これにより、
となるのでこれらを元の式に代入すれば、
となります。
これを普通に積分し、元に戻せば、
となります。
(1.9)を不定積分、(1.10)のほうを定積分といいます。最初の部分にでている“
”はインテグラルといい積分そのものを意味します。
が被積分関数であり、
はこの場合で積分しなければならないということを意味しています。
基本としては何で（どういった記号で）積分するかは大して重要ではなく上記のという記号でなければ例えば
といった記号を使っても構いません。
つまり、
と書いても意味は同じです。
ちなみに定積分が面積や長さを調べるものであり、それに対し不定積分は微分方程式などに使われます。
－ すべての変数を微少量動かすということ
を微少量だけ動かす。
すると、一次近似より、
となります。
ここでこのときの関数の変化量を
と書くならば、
となります。
これを関数
の全微分といいます。
全微分とは、すべての変数を微少量動かしたときの一次近似での関数の変化量
2つの変数式の微分
１つの式の中に２つの変数がある場合の関数
を考えてみましょう。
変数は２つあるので、このときの微分の仕方には次の２種類あります。
これを偏微分、または偏導関数といい、“
”は分母にある変数で偏微分せよという意味の記号です。
一般的には“ラウンド”などという呼び方をします。
計算法はとくに難しく考えるまでもなく、で偏微分するときは以外の変数は定数だとして普通に微分すればよいだけです。
たとえば次のような２変数関数について、と
のそれぞれに偏微分を行ってみましょう。
についての偏微分は、
については、
となります。
対数微分法とは両辺の対数をとることから名づけられた微分法であり、この微分を行うとき先ほどの考え方（チェーンさせる）が重要になります。
ちなみにこの方法は積分計算において置換積分を行うときにも使われることがあるのでしっかりマスターできるようにしましょう。
以下のような関数を微分することを考えてみます。
が定数でのほうが微分するほうの変数です。
このような場合、両辺に対数の
をとることから考えるので、まずこの式を
とおきます。
合成関数とは
合成関数というのは複数の関数によって構成されているいわば混合型関数のようなものと考えればよいでしょう。
この合成関数を微分するという概念は微分積分学を学習する上で非常に重要であり避けては通れないものになります。
連鎖律（chain rule）
■考え方としては次のようになります。
変数によって構成されているという関数を考えます。
その微分表現は
ですが、の式はその中に同じ変数によって２つの関数によって構成されていたとします。
その二つに分けた関数をそれぞれ
とします。
の導関数と呼びます。
