よくわかるベクトル解析

ベクトル内積・外積の数学的一般化

ベクトル内積外積の数学的一般化

ベクトルの成分計算

ベクトルベクトルABのそれぞれの成分を、単位ベクター基本ベクトルijkを使い、

 

ベクトル成分表記

 

と書くとき、その内積ドットプロダクトABの成分計算は次のようになります。

 

 

クロスプロダクトAB計算

 

 

ドットプロダクトAB計算

外積の数学的一般化

クロスプロダクトAB計算と書いた場合、

 

これは、

 

 

  • 大きさ 外積AB計算式
  •  

  • 向き  ベクトル,ベクトル解析,行列式,ベクトル三重積スカラー三重積vector Bに垂直で、かつベクトル,ベクトル解析,行列式,ベクトル三重積スカラー三重積からvector Bへ回した右ねじの進む方向であるような「ベクトル」

 

を表します。

 

 

そして、この外積AB外積A外積Bの外積といいます。

また、分配法則として次のようなことが成り立ちます。

 

ベクトルの分配法則

 

 

同じベクトルどうしの外積は0になります。

 

 

なぜならA CROSS PRODUCTの大きさは定義により

 

 

A CROSS PRODUCT

 

 

であるので、同じ大きさのベクトルは0になります。

 

しかしここで注意すると、外積はベクトル積であるので、

 

A CROSS PRODUCT

 

という表記が正しいです。

 

 

わかりずらいかもしれませんが右辺は零ベクトルです。

 

今度は具体的にベクトルの中身の計算をやってみましょう。

まず計算するベクトルを、

 

 

AB vector ijk

 

 

とします。

 

 

このときAB vector ijkの外積AB vector crossproduct次のように計算されます。

 

 

 

Component calculation vector

異なる単位ベクトルの外積を考えます。

 

 

まず、異なる単位ベクトル間の外積の大きさは、

 

ij sin pi/2

 

 

同様にして、

 

 

fundamental vector

 

 

となります。

 

 

では異なる単位ベクトルの外積の向きはどうなるでしょうか。

 

 

まず、cross product ijを考えます。

 

cross product ijの向きは外積の定義により基本ベクトルi基本ベクトルjに垂直で、基本ベクトルi基本ベクトルjに回した右ねじの進む向きだからこれは結局のところ基本ベクトルkの向きです。

 

先の結果から基本ベクトルだったので結局のところ、

 

 

基本ベクトルの外積計算

 

 

また、外積の順序を逆にすると、

 

 

 

 

ベクトル,ベクトル解析,行列式,ベクトル三重積スカラー三重積

 

 

以上をまとめると、

 

 

ベクトル,ベクトル解析,行列式,ベクトル三重積スカラー三重積

 

ここでベクトル,ベクトル解析,行列式,ベクトル三重積スカラー三重積式の成分にこれらをそれぞれ当てはめていけば、

 

ベクトル,ベクトル解析,行列式,ベクトル三重積スカラー三重積

 

よって2つのベクトルベクトル,ベクトル解析,行列式,ベクトル三重積スカラー三重積の単位ベクトルによる表現は、

 

ベクトル,ベクトル解析,行列式,ベクトル三重積スカラー三重積

外積の幾何学的意味(面積ベクトル)

ベクトル,ベクトル解析,行列式,ベクトル三重積スカラー三重積

ベクトルAベクトルBの作る平面に垂直でベクトルAからベクトルBへまわした右ねじの進む向きの単位ベクトルをベクトルdとすると、

 

 

ベクトルSd

 

 

というふうに書けます。

 

 

左上図における平行四辺形の面積を面積Sとすれば、

 

 

面積S

つまり、ab valueと同じということになります。

 

よってベクトルAベクトルBの外積は、

 

面積ベクトル式

 

 

と表現できることになります。

nextupprevious


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