よくわかるベクトル解析

以下に示す二次元ベクトルにおいてベクトル場座標におけるベクトル場のローテーションを求めてみましょう。

問題�@

においての座標における回転（ローテーション）。

各出口の座標におけるベクトル場の値は、

そして二次元ベクトル場の回転においては成分のみを持つことが分かっているので、座標における『ベクトル場の回転』の成分は、

よって答えは、

このセクションでは、ベクトル場の回転というものを考えます。

まず、ベクトル場の回転というのは、

と書きます。

ベクトル場の発散（ダイバージェンス）はスカラー場でしたが、ベクトル場の回転（ローテーション）は、ベクトル場になります。

「ベクトル場の回転」という（ベクトルの）向きは、軸のプラス方向の、右ねじの進む向きになります。

ベクトル場発散問題�@の答え

問題�@

先ほどのセクションにおいて出てきた次のベクトル勾配、

において、今度は座標点におけるダイバージェンスを求めてみましょう。

三次元におけるベクトル表現は、

ある座標点を中心とした領域からのベクトル（矢印）の外向き量を横、縦、別々に考え、それらをその領域の上下、あるいは左右の間隔で割ったものをその座標点からのベクトル場の発散、または“湧き出し”といいます。

二次元ベクトル場の発散において、ある一つの座標点における値は、数学的にはその座標点において計算された、

によって与えられます。

二次元のスカラー場を考えるとき、数学的には単にの関数によって表現されます。

つまりの値（一つの座標点）が与えられたとき、その座標におけるスカラー場の値が決まります。

そしてそのスカラー場における勾配は偏微分で与えられると覚えておきましょう。