ベクトル場の回転においての重要な性質を、ＲＯＴ計算を利用して証明してみましょう。
その①
あるベクトル場
があったとします。
そのベクトル場に対して、
を満たすようなスカラー場
が存在するためには、に対してどういった条件が必要かを考えます。
『ベクトル場がスカラー場の
勾配ベクトル
であるための必要条件は何か？』
まず次のように勾配ベクトルに対し、ナブラを左側から作用（オペレート）させます。
実際に計算していきます。
これにより、
が必要条件になります。
回転のあるベクトル場は勾配ベクトルになり得ない
その②
あるベクトル場
に対して、
を満たすようなベクトル場が存在するためには、に対してどのような条件が必要かを考えてみましょう。
『ベクトル場がベクトル場の
ローテーションであるための必要条件は何か？』
あるベクトル場が、
と書けるとします。
このとき、ベクトル場のダイバージェンスを考えると、
です。したがって、
が必要条件になります。
実際にこれを証明してみましょう。
より、
これにより以下のような条件が証明されます。
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