2013年のいつだったか忘れた

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次のような式、

この式を

といった形にすることを考えてみます。
まず、式を次々に微分していくと、

ここでｘに１を代入してみると、

という結果が出てきますが、ここでの式をｘ＝１と置くと、まず、

次にを求めるためにの式をで微分して１を代入すれば、

ちなみにの式の微分は合成関数を使っており、例えばの第３項は次のように微分を行っております。

より、

といった感じで計算していきます。
さらに微分して同じように１を代入すれば、

同様に、

ここで注目すべきことは上記の結果を勘案すると以下のような関係があるということです。

以下の結果を使えば式は次のように表現できます。


ここまではについての多項式展開をしましたがそれ以外のに関しても同様になります。 上記の式は３次の多項式ならば成立する式であり、


を含む開区間で式のまわりで展開すると言ったりします。
ちなみに分母にあるというのは、Ｎのカイジョウとよび以下のように定義されるものになります。

例えばだった場合、

そして０のカイジョウは１になります。

上記のやり方に手を加えたものでまわりのテイラー級数があり、これはマクローリン展開などといわれています。

次に示す関数の周りでのテイラー展開（マクローリン展開）。

（１）

はでいくら微分していっても同じ結果が出てくるので０点まわりのテイラー展開

に当てはめれば次のようになります。

 

（２）

などとやって３階微分までやっていくと、

のようになります。これを代入していけば、

 

 

 

設問の例

例題としては例えば次のような感じで出題されることもあります。
といった式があった場合、この関数を第3項までのべき級数展開して表示せよ、なんていう設問があった場合たいていは次のようにマクローリン展開して問題を解いていくことになります。

すべての級数がテイラー展開でうまくいくとは限りません。

例えば次のような式を級数展開する場合はテイラー展開をするとごちゃごちゃした式が出てくるので別の方法を使います。

まず、

のような級数を考えて、それにさらに定数項のを両辺に加えたものを用いて次のような式を導きます。

ここでｎを∞として仮定すれば、

と置きます。

ここでいきなりでなんですが、この式の両辺を０から１の定積分をちょっと実行してみましょう。
まず右辺は、

一方、左辺の積分に関してですが、の微分は、

であったので０から１までの定積分を行うと、

となるので結果、次のような関係式が導かれます。