2014年5月14日

トップページ ＞ 2014年 ＞ 量子力学2014 ＞ 一次元調和振動子

力学において理想的なバネにつながれた物体の振動する様子を示したものを一般的に調和振動子などと言ったりしますが、今回はシュレーディンガー方程式に当てはめていった場合、数式的にどのような振舞を示すかを考察していきます。

 

前回出てきたシュレーディンガー方程式と呼ばれるものは次に示すようなものでした。 ここで一次元調和振動子におけるポテンシャルＶを次のように置きます。

こうしますと先に挙げたシュレーディンガー方程式は次のようになります。

さらに変形させると、

座標の代わりにを使って変数変換しを用いてを次のように置きます。

一次元調和振動子におけるシュレーディンガー方程式の解を求めます。
作用素をチェーンさせ作用素そのものを変化させます。

 

2階の作用素は次のように変形できます。

この結果を使って先のシュレーディンガー方程式を変形していきます。

ここでを次のようにおいて、

これを次々に微分していきます。

 

 

ここでこれの解を、

のようにおくと、

よって、

の式は次のようになります。

さらに変形します。まず左辺第2項の形を変えます。
代入してまとめて…

 

整理すると次のような関係式が導かれます。

 

これらの結果の意味は分子でという条件を付けるとはゼロになっては収束します。

 

によってが決定されることになりますが、これが発散しないようにすればよく、でとなるために

より、

nは０，１，２、…のように続くのでこのエネルギー単位“Ｅ”はごとの均等なレベルで表されることになります。