数学

三角関数のラプラス変換

その他のラプラス変換式の証明(編集中)

時間tに依存する三角関数のラプラス変換の計算

ラプラス変換,三角関数

 

上記ラプラス変換式に関して部分積分を施していく。

 

ラプラス変換,三角関数

 

これによりひとまず次のような式(積分式)が導かれる。

 

 

ラプラス変換,三角関数

 

 

これをさらに積分していくが、ここで右辺を計算しやすいように次のように置く。

これをさら次のように積分していく。

ラプラス変換,三角関数

 

 

ラプラス変換,三角関数

ラプラス変換,三角関数

 

となるのでIは次のようになる。

 

ラプラス変換,三角関数

 

結果を先ほどの式に代入してさらに計算して進めていきます。

 

ラプラス変換,三角関数

 

これより次のような関係式が導かれます。

 

 

ラプラス変換,三角関数

 

 

出てきた結果を整理すると、

 

ラプラス変換,三角関数

よってsinωtのラプラス変換は次のようになります。

 

ラプラス変換,三角関数

ラプラス変換,三角関数のラプラス変換

ラプラス変換,三角関数

先ほどのsinωtと同様に部分積分の公式を使って解いていく。

 

ラプラス変換,三角関数

 

となるので次のように求まる。

 

ラプラス変換,三角関数

 

これを先ほどのsinωtと同様に次のように置く。

 

 

ラプラス変換,三角関数

 

sinの時と同じように右辺第2項を次のようにおいて計算していきます。

 

ラプラス変換,三角関数

 

 

次のようになる。

 

 

ラプラス変換,三角関数

 

 

置換したIを元に戻してさらに計算していく。

 

 

ラプラス変換,三角関数

 

 

出てきた結果を整理していく。

 

ラプラス変換,三角関数

 

よってcosωtのラプラス変換は次のようになる。

 

ラプラス変換,三角関数

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