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時間に関する関数をとしてこの関数を、

 

 

と置いたとします。

 

ある関数に対してをかけてそれをからプラスの無限大の範囲において積分し、その積分によってとは違う関数に変換することをラプラス変換するといいます。

 

フーリエ変換コンテンツでも言ったように時間Tの世界ので表現されていた関数を複素数のｓの世界の関数に置き換えることにより、通常では簡単には解けないような複雑な微分方程式をこのラプラス変換を行うことによって見通し（計算を簡素化）をよくするといった利点があります。

 

実際の計算

 

ここで上記式中の乗数部分を次のようにおいて置換積分していきます。

 

と置換してこれをで微分すると、

 

 

 

 

といった変数の関数に変換されます。

 

このような変換を何のために行うのか言うとある微分方程式が代数的な計算によって解を導くことが可能になるといった利点があります。

 

 

 

 

時間関数が定数の場合のラプラス変換

の場合のラプラス変換

 

 

 

 

より、

 

 

 

 

これより時間関数が定数の場合の結果は次のような式に変換されます。