よいこの低学年むけ数学ひろば

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ある複雑な関数において、例えばAの世界の現象をBの世界の関数に変換してそしてそれらを見通しをよくするといった、だいたいそんな感じの数学的論法にフーリエ変換と呼ばれるものがあります。
一般的にその形は積分の形で表され、範囲はからの積分領域の形で表現されます。

関数を考えを虚数単位とするとのフーリエ積分表示を、 中にあるをのフーリエ変換とすると、は、 ここで次に示されるようなある関数を考えます。
この式にフーリエ変換を適用していくと、

このようにの世界の現象がの世界の現象に置き換わっています。そうすると今までの世界で見ていた場合わかりずらかったものが、に置き換わることで見通しが明るくなり、その現象がわかりやすくなるという利点があります。

その他の性質

またさらには指数関数のには次に示すような

といった形に変換できるのでこれを式に代入すると、


この上記式において式が遇関数であれば右辺第2項は０、奇関数であれば右辺第1項のほうが０になるという性質があります。
この性質は、後に出てくるガウス関数のフーリエ変換計算式において利用しますのでとりあえずこういうものなんだなという感じで覚えておいてください。

無限区間における積分で俗にガウス積分と呼ばれるものがあります。
下の図は指数関数を描画したものです。

まず積分する範囲をと置きます。そのを2乗したものに対して極座標を適用させると、

のようになりますが、ここで次のように座標軸を互いに交換したもの、

としても同じ求める積分範囲だということがわかります。ですので次のように求める積分式を変形させることが可能になります。

ここでのをと置いて、

これを微分しての変換（置換）をして変数変換。

 

 

この結果によっては、

プラスのほうをとれば

次のようなガウス関数に関してフーリエ変換をしていった場合どのような方程式が得られるかを考察していきます。

 

フーリエ変換式は、

 

ここで次の性質

 

これを代入して計算していきます。

ここで出てきた積分式を次のように置きます。
この式に対して次のようにに関しての偏微分を行ってみましょう。

 

より、

 

出てきた上式のをただのと置き、さらに定数を求めていきます。

 

を元に戻すと、

 

とすると、

 

ガウス積分が出てくるのでこれを先ほどのやり方で同じように計算していきます。

と置いて変数変換

 

代入していきます。

 

よって次のように求まります。