フーリエ解析

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ある複雑な関数において、例えばAの世界の現象をBの世界の関数に変換してそしてそれらを見通しをよくするといった、だいたいそんな感じの数学的論法にフーリエ変換と呼ばれるものがあります。

 

例えばバンドの演奏なんかにおいてそれらがボーカル、ドラム、ベース、ギターの四つのハーモニズムニよって曲が出来上がっているとする場合、その中からギターの部分のみに注目しそしてそれを耳コピーで解析してスコアブックに書き出すような作業といった感じに大体似ています（例えが飛躍していたらすみません）。

一般的にその形は積分の形で表され、範囲はからの積分領域の形で表現されます。

 

 

ある関数を考え、ここでを虚数単位とするとのフーリエ積分表示は、
この時のをのフーリエ変換と言って具体的には次のように表します。

例）

ここで次に示されるようなある関数を考えます。

 

これに対して実際にフーリエ変換してみると、

 

 

これより、

 

 

このようにの世界の現象がの世界の現象に置き換わっています。そうすると今までの世界で見ていた場合わかりずらかったものが、に置き換わることで見通しが明るくなり、その現象がわかりやすくなるという利点があります。

その他の性質

またさらには指数関数のには次に示すような、

 

 

といった形に変換できるのでこれを式に代入すると、

 

 

この上記式においてが遇関数であれば右辺第2項は０、奇関数であれば右辺第1項のほうが０になるという性質があります。 この性質はこの後に出てくるガウス関数のフーリエ変換計算式において利用しますのでとりあえずこういうものなんだなという感じで覚えておいてください。

ガウス積分の概要

 

 

まず積分する範囲をと置きます。そのを2乗したものに対して極座標を適用させると、

 

 

のようになりますが、ここで次のように座標軸を互いに交換したもの、

 

 

としても同じ求める積分範囲だということがわかります。
なので次のように求める積分式を変形させることが可能になります。

 

 

 

ここでの部分のをと置きます。

 

 

これを微分しての変換（置換）をします。

 

 

 

 

置換したこれを元の式に代入します。

 

 

 

この結果によりは、

 

 

 

 

プラスのほうをとれば、

次のようなガウス関数を考えます。

 

このガウス関数に関してフーリエ変換をしていった場合どのような方程式が得られるかを考察していきます。

 

フーリエ変換式は、

 

 

ここで次のような性質、

 

 

これを代入して計算していきます。

 

 

 

ここで出てきた積分式を次のように置きます。

 

 

この式に対して次のようにに関しての偏微分を行います。

 

ここでより、

 

 

 

 

このをただのと置き、ここから具体的にを０とした定数を求めていく。

 

 

を元に戻せば、

 

 

とすれば、

 

 

ガウス積分が出てくるのでこれを先ほどのやり方で同じように計算していきます。

 

 

と置いて変数変換、

 

 

代入していきます。

 

 

 

よってガウス関数のフーリエ変換は次のように求まります。

 

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