2013年10月7日

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デカルト座標系においてが、 のように表せるとき次のようなオペレーター

が平面極座標においてどのように表現できるのかを考察します。
に関して式中の変数での一次近似での関数の変化量は全微分によって次のように与えられます。

まずのほうから計算していきます。
上記の式に対してさらにによる偏微分を施します。

次に上記式右辺の第1項の及び第3項のの部分をとでチェーンさせます。

これらを代入します。

よって次のような結果になります。

次に先ほどののオペレーターに関して全微分は、

であったのでこれをさらにオペレートします。

の時と同じように上記式の第1項と第3項をチェーンさせます。

これらを代入し、先ほどと同じように計算していけば次のように求まります。

以上の結果をまとめると次のようになります。

偏微分項部分の具体的な計算

次に各々の偏微分項の計算をそれぞれ行ってみましょう。
との間にはそれぞれ次のような関係式が導かれます。 なのでこれらをのそれぞれにおいて偏微分を施していきます。

より

となるのでのによる偏微分結果は次のようになります。

またの微分に関してはまずをと置いて置換しそれをで微分します。

さらにとなりこれをで微分すると次のようになります。

ここで逆写像の定理により次のような表現ができます。

これに代入して解いていきます。

をで微分するためにでチェーンさせます。

これに先ほどの結果を代入して計算していきます。

これらの結果についてさらに偏微分を施します。

さらにについても同様に偏微分を施します。

さらにについても同様の偏微分を施せば次のように求まります。 これらの結果を先ほど求めたの変換式にそれぞれ代入していきます。

 

これらの結果を

へ代入していきます。


よって次のように求まります。

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