次のような式、 この式を といった形にすることを考えてみます。
まず、式を次々に微分していくと、 ここでxに1を代入してみると、 という結果が出てきますが、ここでの式をx=1と置くと、まず、 次にを求めるためにの式をで微分して1を代入すれば、 ちなみにの式の微分は合成関数を使っており、例えばの第3項は次のように微分を行っております。 より、 といった感じで計算していきます。
さらに微分して同じように1を代入すれば、 同様に、 ここで注目すべきことは上記の結果を勘案すると以下のような関係があるということです。 以下の結果を使えば式は次のように表現できます。
ここまではについての多項式展開をしましたがそれ以外のに関しても同様になります。
を含む開区間で式のまわりで展開すると言ったりします。
ちなみに分母にあるというのは、Nのカイジョウとよび以下のように定義されるものになります。 例えばだった場合、 そして0のカイジョウは1になります。 上記のやり方に手を加えたものでまわりのテイラー級数があり、これはマクローリン展開などといわれています。