ブラックショールズ導出への道しるべ

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ここで変数変換uの変数変換の式を現実のケースに置き換えて考えるとt_nというのはコールオプションなどの満期日にあたるので(解は数学上では可能ですが)現実にはs - t_n - tの値(時間)はマイナスになるということはありません。

 

そして最初の境界条件のx=c, x>cというのは満期を迎えた原資産価格xが行使価格cより大きいという条件なのでu0以下ならば金融派生商品ω(x, t)の価値は0、さらには満期日における境界条件はtn - t = 0になるのでuの変数変換の式に代入すれば、u = log x/cとなります。

 

これを変形すると、

 

 

expu = x/c

 

 

 

となります。ですので以上の結果を考慮すれば、最初に示した境界条件は、

 

ω(x, t)の境界条件

さらに先ほどの変数変換に関して考慮すれば、f(p)=f(u+v eta sqrts)であり、u → pとしているので、この境界条件はさらに、

 

ηの境界条件

 

より、

 

f(p)の境界条件

 

 

etaの値が積分範囲以下ならばf(p)の値は0であり、この場合積分する範囲は積分範囲以上に限られます。

 

なので積分範囲は-∞から+∞となっていますが、(5.3.4)の積分は次のように表現できます。

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

さらに上記範囲内にあるf(p)を当てはめれば次のようになります。

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

uを元にもどし、上記の式を変形させます。

 

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ここでz=η-v √sと置く変数変換を実施します。

 

z=η-v √s

 

 

 

dz = deta

 

 

代入すれば

 

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

ここで変換する前のetaの積分範囲は積分範囲の変換ですが、これを変数変換後のzに置き換えてみると次のようになります。

 

z変数変換

 

なので積分範囲は、

 

 

z積分範囲の変換

 

 

y(u, s)の範囲は次のようになります。

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

表記を統一するために2項目のetaz = etaとして変数変換をしています。

 

 

ここで下のグラフを考察します。

 

nomal distribution image

 

これは、

 

 

nomal distribution image

 

 

という関数においてv = 1, 2, 3の値におけるそれぞれのグラフを表したものです。

 

uは平均、v^2は分散を表しています。

 

なお、s1としています。

y軸を中心にしてその形が左右対称になっているのがわかると思います。

 

この関数は正規分布関数といわれており、vの値が変化しグラフの形は変わってもその左右対称という構造は変わっていないというのがその大きな特徴です。

 

 

この関数は一般的に次のような簡略化した表記をします。

 

 

N(u, v^2)

そしてこういった特徴は上記で示した関数正規分布関数に対しても同じことが言えます(右下グラフ中右上の式のxに対応するのはzです)。

 

gnuplotによる正規分布関数の描画

mathematicaによる3次元正規分布関数の描画

正規分布関数のこうした特徴を応用すれば次のようなことがいえます。

 

積分範囲の変換

 

これより、y(u, s)におけるこの関数を正規分布関数表記を使って表せば次のようになります。

 

正規分布関数y(u, s)積分式

 

 

正規分布関数y(u, s)積分式

最後にomega(x, t)に代入します。

 

 

black scholes equation integration

 

 

black scholes equation integration

black scholes equation integration

 

 

よって次のように求まります。

 

black scholes equation integration

upprevious

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