ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

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変数変換の式を現実のケースに置き換えて考えると、というのはコールオプションなどの満期日にあたるので（解は数学上では可能ですが）現実にはの値（時間）はマイナスになるということはありません。そして最初の境界条件のというのは満期を迎えた原資産価格が行使価格より大きいという条件なのでが0以下ならば金融派生商品の価値は0、さらには満期日における境界条件はになるのでの式に代入すれば、となります。これを変形すると

以上の結果を考慮すれば、最初に示した境界条件は、

さらに先ほどの変数変換に関して考慮すれば、であり、としているので、この境界条件はさらに

の値が以下ならばの値は0であり、この場合積分する範囲は以上に限られます。つまり積分範囲はからとなっていますが、(5.29)の積分は次のように表現できます。

 

さらに(5.30)にあるを当てはめれば次のようになります。

を元にもどし、上記の式を少し変形させます。

ここでと置く変数変換を実施します。

代入すれば

ここで変換する前のの積分範囲はですが、これを変数変換後のに置き換えてみると次のようになります。

ですので積分範囲は

となります。
の範囲は次のようになります。

ちなみに表記を統一するために２項目のはとして変数変換をしています。 ここで次の下にあるグラフをよく見てください。 これは という関数においての値におけるそれぞれのグラフを表したものです。

 

は平均、は分散を表しています。ちなみにはとしています。

 

軸を中心にしてその形が左右対称になっているのがわかると思います。この関数は正規分布関数といわれており、この関数はの値が変化しグラフの形は変わってもその左右対称という構造は変わっていないというのがその大きな特徴です。

 

この関数は一般的に といった表記をします。

 

そしてこういった特徴は上記で示した関数に対しても同じことが言えます（左下グラフ中右上の式のに対応するのはです）。

 

正規分布関数のこうした特徴を応用すれば次のようなことがいえます。 なのでにおけるこの関数を正規分布関数表記を使って表せば次のようになります。

最後にに代入します。

これが最終的に求まるブラックショールズモデルです。

 

 

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