ブラックショールズ導出への道しるべ

ブラックショールズモデルー積分式の変換

積分式の変換

前セクションで出てきた、

熱伝導方程式による特性方程式


の式に関して、

これをf(p)とすると、

係数A(q)、B(q)は、


Constant coefficient A(q)

Constant coefficient B(q)


それぞれの式を代入すれば、

変数分離形



フーリエ積分への変換式

フーリエ積分への変換式

フーリエ積分への変換式

積分の順序を交換します(無限区間の熱伝導方程式のセクションを参照)。

 

フーリエ積分への変換式

左側のコンテンツ

フーリエ積分への変換式

 

となり、ここでいったん上記式のフーリエ積分への変換式Iとおいて積分計算を行います。

 

 

その前にまずIの式を(p-u)で偏微分します。

 

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,フーリエ積分

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル,フーリエ積分

この(5.3.3)式の右辺に対して部分積分を実行します。

 

部分積分

 

 

部分積分

部分積分

 

 

微分方程式

 

次にこの(5.3.4)の微分方程式を解いていきます。

 

 

特性方程式の微分方程式の解法

 

特性方程式の微分方程式の解法

 

特性方程式の微分方程式の解法

特性方程式の微分方程式の解法

特性方程式の微分方程式の解法

特性方程式の微分方程式の解法

 

特性方程式の微分方程式の解法

次にこの出てきた積分定数積分定数Cについて考えてみると、この積分定数CIの変数を積分定数CとしてI(p-u)に関して微分したものです。

 

そのため出てきた積分定数は積分定数Cになりこのことを考慮しIを元に戻せば積分定数積分定数Cは次のようになります。

 

 

積分定数Cの変換

 

微分方程式

これにより、

積分定数方程式

となりますがここで、

積分定数方程式


なので

積分定数方程式


この積分を実行するために積分範囲を広げます。

積分定数方程式ガウス積分



こうすることによりガウス積分の適用が可能になります。

ここで変数変換変数変換zとおく変数変換をします。

 

それを変数変換qで微分すれば

 

変数変換微分

 

 

変数変換微分

 

変数変換

 

 

これを代入すれば、

 

 

ガウス積分

 

により、

 

ガウス積分

 

 

ガウス積分

ガウス積分定数

 

 

ガウス積分定数

 

 

よってy(u, s)は、

 

 

y(u, s)式の積分変換式

 

 

y(u, s)式の積分変換式

y(u, s)式の積分変換式

となり、さらにω(x, t)は、代入すれば、

 

ω(x, t)

 

 

ここで変数変換に対して変数変換を実施し、それをη変数変換(イータ)とおきましょう。

 

η変数変換

 

η変数変換

 

 

このpの式をηで微分します。

 

 

dp/deta

y(u, s)の式に代入すると、

 

 

y(u, s)

 

 

y(u, s)

y(u, s)

 

 

以下のように求められます。

 

 

y(u, s)

nextupprevious

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