ブラックショールズ導出への道しるべ

ブラックショールズモデル―有限要素法

熱伝導方程式の変数分離

前セクションにて導出された一次元熱伝導方程式に関して、変数分離という作業を行って順々に計算を実行していきます。

 

変数分離形

 

とします。

 

すると、

 

変数分離形

 

 

となるので、ここで変数分離を行うと、

 

変数分離形

見てわかるように両辺の式はお互いのそれぞれの変数に依存していない形になっています。

 

ですので次のように置くことが可能になります。

 

 

変数分離形

 

κ=constant

さらに次のように置きます。

熱伝導方程式の変数分離形


(5.2.2)の式を次のように変形します。

熱伝導方程式の変数分離形



この微分方程式の解としては3つほど考えられますが熱伝導のセクションでやったようにこの場合、有効かつ意味のある解qは、

変数分離形の階


になります。

実数部は0、虚数部は?qなので特性方程式の解は次のようになります。

 

 

特性方程式


 

特性方程式

 

 

ここで出てきた定数A,Bをそれぞれqの関数と考え、

 

特性方程式

 

 

とします。

 

次に(5.2.1)は、

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

 

 

と置けるのでこの微分方程式を解いていきます。

 

 

熱伝導方程式の変数分離形

 

熱伝導方程式の変数分離形

 

熱伝導方程式の変数分離形

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル


 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,オプションプライシングモデル

となります。

 

それをy(u,s)=u(u)・S(s)に代入すれば、

 

 

熱伝導方程式の特性方程式

この偏微分方程式の解をすべてを重ね合わせと考えると、0からの無限区間と考えられるのでその解の微分方程式は、

 

 

熱伝導方程式による特性方程式

 

 

と出来ます。

 

 

 

ところで先ほどの微分方程式が与えられたときの条件を考慮し、y(u, 0)とすれば

 

熱伝導方程式による特性方程式

 

 

となり、これによってフーリエ積分公式が適用できるようになります。

nextupprevious

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