ブラックショールズ導出への道しるべ

ブラックショールズモデル―微分方程式の導出

ブラックショールズモデル-その導出過程

x: コールオプション価格などといった原資産価格
ω(x、t) 金融派生商品の価格

 

 

ブラックショールズ偏微分方程式:、

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,微分方程式

 

ここでvは株価のボラティリティー

 

r:非危険利子率(安全金利)は非危険利子率(安全金利)

 

 

ω(x、t)x、tの関数なのですがこれをusを使って、

 

 

y(u, s)

 

とし、ω(x、t)を、

 

Black?Scholes partial differential equation img1_1

 

 

Black?Scholes partial differential equation img1_2

 

ここで(t_n - t)sとしています。

 

 

こうしたときのブラックショールズ偏微分方程式式のそれぞれの偏微分の項、

 

 

Black?Scholes partial differential equation img1_3

 

 

これらを計算していきます。

@ブラックショールズモデル,偏微分方程式,微分方程式の計算

 

さきほどomegau, sの関数ω(x、t)としているのでブラックショールズモデル,偏微分方程式,微分方程式の偏微分計算は全微分での計算になります。

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

となります。ちなみにブラックショールズモデル偏微分方程式、およびブラックショールズモデル偏微分方程式の微分は次のようになっています。

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

uに関しては、

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

より、

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式


 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

Aブラックショールズモデル偏微分方程式の計算

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

なので前回の結果を利用します。

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ここで、

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

式について述べると、単純にブラックショールズモデル偏微分方程式とはなりません。
このブラックショールズモデル偏微分方程式に置かれている関数ブラックショールズモデル偏微分方程式はもともとは未知関数であり、その未知関数は変数ブラックショールズモデル偏微分方程式に依存しているため、このブラックショールズモデル偏微分方程式にもブラックショールズモデル偏微分方程式に関した全微分の式を当てはめなければなりません。

 

例えば、ブラックショールズモデル偏微分方程式を関数ブラックショールズモデル偏微分方程式と置くと、

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

Bブラックショールズモデル偏微分方程式の計算

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

より、

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式

となるので、これら3つの結果を先ほどの偏微分方程式、

 

ブラックショールズモデル,偏微分方程式,微分方程式

 

にそれぞれを代入して計算していきます。

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式


 

 

ブラックショールズモデル偏微分方程式



左側のコンテンツ

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

ブラックショールズモデル偏微分方程式

 

 

いわゆる一次元における熱伝導方程式になります。これを実際に解いていきます。

 

一次元熱伝導方程式のセクションでやったとおりの変数分離という作業を行って順々に計算を実行していきます。

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