2013年8月10日

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複利計算による将来の価格（終価という考え）

一般的にただ漠然と利潤のみを狙って投資をしているなら別ですが将来いったいいつまでに、かつ毎月いくら積み立てていきたいと考えるような堅実な運用である場合、大体の期間を定めて年間何％の金利を設定すれば将来いったいいくらになるかという計算を行う場合がおおいかと思います。
例えば年利率３％で運用していった場合、一年後には元本（n）も含めた金額はｎ×１．０３になるものだというものであって、例えば100万円を一年間運用すれば103万になります。
そしてその金利には単利と複利があります。
元金を、年利率、終価などの数値を、さらに利息をとします。
期間を年間とした場合、その期間内における単利による利息は、

なので元利合計は次のようになります。
この出てきたを先ほども言った終価という呼び方をします。

複利計算

複利計算においては一年を経過した元利合計をさらに次の年度の投資元金に組み入れるというものなので、

１年後の元利合計

２年後の元利合計

結果的にこれの繰り返しになるので年後の複利計算における元利合計（終価）は この上記式を変形させると次のような表現ができます。 通常の場合だと最初に元本を確保して、それを運用して将来の価格（終価）を予想するものですが、この式を利用すると例えば十数年後に○○○○万円を目標に利殖していった場合、最初に用意する元本はいくら必要になるか？という計算が可能になることがわかるかと思います。
仮に年利３％、20年間運用できたとし、終価5000万円を得たいのであれば以下のような計算になります。

期始払い確定年金終価

上記の式をさらに発展させた式で期始払い確定年金終価という数式がある。
を年利率、を年数として次のように表す。 sの上にツードットがありますがこれはニュートン表記によるものではなく生命保険数学分野において使われる専用の表記になります。
参考までに追記すると次のようなものも。

ex1.

仮に年利３％で２０年間運用できたとし、その２０年後に５０００万円を目標にしたとします。そうした場合の毎年始めに用意する金額がいくらになるかを実際に期始払い年金終価の式に代入して導き出してみましょう。
年利：＝３％、年数：ｎ＝２０年

毎年始めに用意する金額を“X”と置くと、終価５０００万なので次のような恒等式が成り立ちXが求まります。

毎年初めに用意する金額が約１８０万円。これを毎年複利で運用していった場合２０年後には目標の金額に達成することができます。ただし毎年同じ金利で運用できた場合であり、経済環境は常日頃変化しているので運用金利が変更になった場合は途中で工夫する必要があります。

ex2.途中で金利の変更などがあった場合

次に利殖している期間内において利率の変更などがあった場合を考えてみましょう。
例として３％だった利率が１０年後に引き下げになり２％になったとします。
例）
こうした場合、まず変更前の１０年間の運用結果を導きます。

先ほどの計算結果より

毎年の積立額による１０年後の元利合計は

この額の残りの１０年間の２％の元利合計は

差額は

この求められた金額に対して残りの期間の１０年間の期始払い年金終価を求めます。
年利２％運用での１０年間の期始払い年金終価は、

金利変更後の残りの金額を達成するための毎年始めに用意する金額を今度はと置きます。

要するに蓄えがある余裕ある人でも野球選手のような年棒制でもない限り、投資などに回せる金額が毎月ごとに発生しているはずです。

 

“時は金なり”という言葉が示すように、終価係数で求められた金額が貯まるまでそのまま一年間にも渡って資金を眠らせるというような行為は、やはり本末転倒と言わざるを得ません。
なので期始払い年金終価における年利率を次のようにしてみます。 月ごとにある一定の金額を運用投資に回して決められたある時期に決められたある金額をためるには、毎月いったいいくらの金額を用意すればよいか、その金額を表示させるエクセルシートを実際に作ってみました。

上記画像では年利５％で運用していき、２０年後（２４０か月後）に２０００万円をためるには毎月いったいいくら投資に回せばよいかその結果が表示されています。

このグラフを見てわかるように、運用投資をするのとしないのとでは２０年後の金額の差に大きな開きができることがよくわかります。

 

ただし上記の例のような毎年年利５％で運用し続けることはプロでもなかなか難しく、一般の方ではなおさらのことらしいです。

外部リンク：分散投資で年利３％の運用を目指す
上記のリンク先の内容だと５％での運用は難しくとも３％での運用ならばある程度は目指せるらしいとのこと。
仮に目標額を2〜3000万ほどとし、それを３０年ぐらい続けるとした場合は３〜５万円程度の毎月の積立になりますが負担なく毎月続けるにはこれぐらいの金額が現実的なのだそうです。
実際に手元にある年金終価係数エクセルシートを使って年利率３％で３０年間運用の目標額３０００万円とした場合、毎月の積立額を計算すると約5万円という金額になります。
運用しない場合と比べると毎月3万円強の違いが出てきますが、毎月のこととなるとやはり少ない金額とは言えません。

 

ちなみにこの数式は生命保険数学の分野になり、ファイナンシャルプランナーであれば大抵の場合はよく知られた数式になります（３級試験によく出るらしく、私のときもちゃんと出ました。）。
これらはとりわけ小難しい数学の知識は使っていませんのでグラフ表示ができるような係数算出の簡単なエクセルシートなどをご自分で作ってみるのも面白いかと思います。
ただし、投資（特に株式）はあくまで自己責任で何卒よろしくおながい申し上げます。

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