ケルマックマッケンドリックの微分方程式

基本再生産数:R(Rノート)

基本再生産数Rの導出

 

ケルマックマッケンドリックの方程式、

の第2方程式より以下が求まる。


 

この指数関数の乗数部分に関して少しだけ手を加える。



ここで基本再生産数というのを考えそれをとおく。

 

 

上記の基本再生産数は通称R naughtと呼ばれるもので次のように表すとのこと。

さらにここで次のように表すことにする。

こうすることで前述のケルマックマッケンドリックの微分方程式の第2式の変形式、

は次のように表現できることになる。

2020年7月15日までの数値からの大まかな結果

上記のように結果が1以上になるので7月15日までの統計数値からの以後の予想に関しての今後の展開は指数関数的に増加することが見て取れる。
この結果により、

であると、ケルマックマッケンドリックの微分方程式第2式は指数関数的に(感染者が)増加するということを意味する。

 

感染力に関して

支那発の新型の中国肺炎ということなので通常は感染力は100%で計算するようではあるが、ここで日本人の潔癖症的な性癖(マスク手洗いの励行)などの行動習慣、または何かしらの予防効果による免疫(BCG?など)があると考えてあえてこれらを100%以下と考えることもできるのではないかという(自分勝手な)推論を加えます。
つまり通常は100%で計算していくところをあえて90、80などと計算する(そういった行動習慣による自然免疫のようなものを考えるとそうした集団は除外人国に加えてもいいのではないかと考えてあえて感染力を100以下とした、あくまで個人的な推論です)。
感染力の場合の120日予測の結果。
time     S      I      R
1 1 0.9998160 3.400000e-05 0.0001500000
2 2 0.9997836 3.806512e-05 0.0001783574
3 3 0.9997473 4.261487e-05 0.0002101041
4 4 0.9997066 4.770672e-05 0.0002456445
5 5 0.9996612 5.339638e-05 0.0002853705
6 6 0.9996104 5.976505e-05 0.0003298549
7 7 0.9995535 6.689016e-05 0.0003796443
8 8 0.9994898 7.486059e-05 0.0004353676
9 9 0.9994185 8.377500e-05 0.0004977240
10 10 0.9993388 9.374474e-05 0.0005675046
11 11 0.9992495 1.048931e-04 0.0006455873
12 12 0.9991497 1.173572e-04 0.0007329520
13 13 0.9990380 1.312899e-04 0.0008306933
14 14 0.9989131 1.468611e-04 0.0009400327
15 15 0.9987734 1.642595e-04 0.0010623326
16 16 0.9986172 1.836947e-04 0.0011991121
17 17 0.9984425 2.053989e-04 0.0013520640
18 18 0.9982473 2.296293e-04 0.0015230734
19 19 0.9980291 2.566703e-04 0.0017142386
20 20 0.9977853 2.868362e-04 0.0019278932
21 21 0.9975129 3.204730e-04 0.0021666303
22 22 0.9972087 3.579615e-04 0.0024333292
23 23 0.9968691 3.997196e-04 0.0027311829
24 24 0.9964901 4.462048e-04 0.0030637281
25 25 0.9960672 4.979164e-04 0.0034348794
26 26 0.9955956 5.553976e-04 0.0038489614
27 27 0.9950700 6.192370e-04 0.0043107429
28 28 0.9944845 6.900694e-04 0.0048254746
29 29 0.9938325 7.685763e-04 0.0053989251
30 30 0.9931071 8.554847e-04 0.0060374173
31 31 0.9923006 9.515647e-04 0.0067478633
32 32 0.9914046 1.057626e-03 0.0075377974
33 33 0.9904101 1.174509e-03 0.0084154038
34 34 0.9893074 1.303081e-03 0.0093895392
35 35 0.9880860 1.444217e-03 0.0104697466
36 36 0.9867350 1.598789e-03 0.0116662580
37 37 0.9852424 1.767643e-03 0.0129899828
38 38 0.9835959 1.951573e-03 0.0144524775
39 39 0.9817828 2.151292e-03 0.0160658942
40 40 0.9797897 2.367394e-03 0.0178429015
41 41 0.9776031 2.600311e-03 0.0197965750
42 42 0.9752095 2.850266e-03 0.0219402513
43 43 0.9725954 3.117219e-03 0.0242873426
44 44 0.9697481 3.400810e-03 0.0268511077
45 45 0.9666553 3.700300e-03 0.0296443770
46 46 0.9633063 4.014514e-03 0.0326792313
47 47 0.9596916 4.341786e-03 0.0359666370
48 48 0.9558040 4.679914e-03 0.0395160416
49 49 0.9516389 5.026131e-03 0.0433349385
50 50 0.9471945 5.377090e-03 0.0474284147
51 51 0.9424724 5.728873e-03 0.0517986976
52 52 0.9374782 6.077040e-03 0.0564447220
53 53 0.9322216 6.416693e-03 0.0613617415
54 54 0.9267164 6.742589e-03 0.0665410116
55 55 0.9209812 7.049278e-03 0.0719695692
56 56 0.9150386 7.331276e-03 0.0776301361
57 57 0.9089156 7.583251e-03 0.0835011646
58 58 0.9026427 7.800232e-03 0.0895570392
59 59 0.8962537 7.977813e-03 0.0957684409
60 60 0.8897848 8.112336e-03 0.1021028652
61 61 0.8832737 8.201057e-03 0.1085252801
62 62 0.8767588 8.242267e-03 0.1149988943
63 63 0.8702786 8.235358e-03 0.1214860023
64 64 0.8638703 8.180845e-03 0.1279488637
65 65 0.8575691 8.080326e-03 0.1343505741
66 66 0.8514077 7.936390e-03 0.1406558846
67 67 0.8454156 7.752488e-03 0.1468319337
68 68 0.8396184 7.532769e-03 0.1528488624
69 69 0.8340378 7.281891e-03 0.1586802900
70 70 0.8286915 7.004836e-03 0.1643036418
71 71 0.8235930 6.706720e-03 0.1697003278
72 72 0.8187516 6.392631e-03 0.1748557839
73 73 0.8141731 6.067477e-03 0.1797593873
74 74 0.8098599 5.735866e-03 0.1844042667
75 75 0.8058110 5.402015e-03 0.1887870283
76 76 0.8020229 5.069687e-03 0.1929074210
77 77 0.7984899 4.742156e-03 0.1967679645
78 78 0.7952042 4.422199e-03 0.2003735591
79 79 0.7921568 4.112096e-03 0.2037310937
80 80 0.7893373 3.813660e-03 0.2068490664
81 81 0.7867345 3.528266e-03 0.2097372265
82 82 0.7843369 3.256894e-03 0.2124062479
83 83 0.7821324 3.000177e-03 0.2148674361
84 84 0.7801091 2.758444e-03 0.2171324719
85 85 0.7782550 2.531769e-03 0.2192131917
86 86 0.7765586 2.320013e-03 0.2211214038
87 87 0.7750084 2.122866e-03 0.2228687371
88 88 0.7735936 1.939883e-03 0.2244665216
89 89 0.7723038 1.770518e-03 0.2259256953
90 90 0.7711291 1.614150e-03 0.2272567349
91 91 0.7700603 1.470107e-03 0.2284696076
92 92 0.7690886 1.337691e-03 0.2295737398
93 93 0.7682058 1.216187e-03 0.2305780008
94 94 0.7674044 1.104882e-03 0.2314906987
95 95 0.7666773 1.003075e-03 0.2323195830
96 96 0.7660181 9.100818e-04 0.2330718574
97 97 0.7654206 8.252438e-04 0.2337541977
98 98 0.7648793 7.479312e-04 0.2343727725
99 99 0.7643892 6.775467e-04 0.2349332651
100 100 0.7639456 6.135274e-04 0.2354409025
101 101 0.7635442 5.553459e-04 0.2359004859
102 102 0.7631811 5.025093e-04 0.2363164157
103 103 0.7628527 4.545587e-04 0.2366927161
104 104 0.7625559 4.110680e-04 0.2370330614
105 105 0.7622876 3.716439e-04 0.2373408040
106 106 0.7620451 3.359235e-04 0.2376189997
107 107 0.7618260 3.035735e-04 0.2378704308
108 108 0.7616281 2.742875e-04 0.2380976275
109 109 0.7614493 2.477847e-04 0.2383028889
110 110 0.7612879 2.238085e-04 0.2384883028
111 111 0.7611421 2.021243e-04 0.2386557641
112 112 0.7610105 1.825184e-04 0.2388069910
113 113 0.7608917 1.647956e-04 0.2389435414
114 114 0.7607844 1.487786e-04 0.2390668263
115 115 0.7606876 1.343061e-04 0.2391781236
116 116 0.7606002 1.212313e-04 0.2392785902
117 117 0.7605213 1.094212e-04 0.2393692729
118 118 0.7604501 9.875490e-05 0.2394511187
119 119 0.7603859 8.912295e-05 0.2395249841
120 120 0.7603279 8.042602e-05 0.2395916432

結果より7月15日時点のデータからのケルマックマッケンドリックの微分方程式による予想では約60日後に感染者数がピークに達するという予想が出る。 グラフは以下になる(数値は実際の感染者数を予測するものではなく、これはあくまで個人的な推測によるものです)。

おながいします(・ω・)

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