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ケルマックマッケンドリックの微分方程式

SIRモデル(変臭中)

人口と感染症の数理より参照。
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ケルマックマッケンドリック微分方程式(微分方程式いろいろ予定コンテンツ)

年齢的構造を考慮した人口における感染症流行のモデル検証
 : 感受性人口 新型感染症に罹患する可能性のある全人口
 : 感染性人口 新型の感染症に罹患しておりまだ感染していない者にその病気に罹患させる可能性のある人口
 : 除外人口(回復人口) 以前に新型の感染症に罹患していたが現在では回復していてい免疫がついている考えられる人口、または死亡や隔離状態にあると考えられる人口

 

時刻時刻tにおける総人口を線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学と置いた場合、どのようなモデルであっても次のような等式が成り立つ。

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このようなS,I,Rを時間tを変数とした常微分方程式にあらわしたものが次のようなものになるという。

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ここで上記常微分方程式におけるそれぞれのパラメーター変数の意味は次のようになる。
罹患していない個体が感染症に罹患し、感染性の人口へ遷移する率
感染性の個体が感受性人口へ戻る率
感染性の個体が除外された集団へと戻る率
さらにここで免疫を獲得しないで回復する率を0と置いた場合は以下のようになる。

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この変数tにおける上微分方程式を、ケルマックマッケンドリックのS-I-Rモデルと呼ぶらしい。

 

詳しくは以下の書籍を参考に。

 

第2式の微分方程式の計算

ここで重要になるのは第2式、

になるのでこの微分方程式を計算していく。

 

ここで以下のように置けば、

 

の式より次のようになる。

この求められた式において重要なのは感染人口Iに対する右辺の式にeといった指数関数が出てくることで、この乗数部分が結果的に1以上か1以下かで今後の予想が大きく変化することを意味する。

おながいします(・ω・)

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