微分方程式いろいろ

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例えば次のような式、

この式は２階微分が入っており、変数以外の定係数が含まれるこういった微分方程式を一般的に２階非同次微分方程式などと言ったりします。
この形のロンスキアン行列式を使った定係数2階非同次微分方程式を解いていきます。

定型数２階非同次微分方程式の解法

上記の２階非同次微分方程式を考え、さらに右辺の項を0として得られるような次のような微分方程式、

 

のような式を同次式と言ったりします。

 

 

ここでいったん次のように、

を作用素として置くと上の同次と非同次のそれぞれの微分方程式は以下のようにあらわします。

式に対してがどちらでも解であるとするとを任意定数として考えたとき、その結合、

がの解と考えられ、この２つの関数がどんな場合においても次のような、

となる定数であるとするならば、

一次独立

ここでの式を微分して次のような連立方程式を考えます。 この式を行列を使って表現すると、 となるような逆行列式が存在するとするならば定数はであると考えることができます。

 

また上記式の、

これの行列式、

が0でないならば逆行列が存在するのでそのための積分定数のは0であると考えられ、このようなとき１次独立といってのような左辺を0と置いたときの斉次線形微分方程式における２個の(１次独立な)解をの基本解だと考えられます。

 

またこれに反して関数が１次独立でない場合はその関数を１次従属などと言ったりします。

1次従属

次のような関係式、 上記の行列式をロンスキアンと呼び、で表します。前述に述べた１次独立であるための必要十分条件になります。

 

逆に上記のロンスキアン行列式が、 であるならば１次従属。

 

考え方としては次のようなものが出来上がります。

 

斉次方程式の２つの解が１次独立であるための必要十分条件とは以下に示すような行列式が次のように0とならないことになります。 上記のは斉次方程式の１次独立な解であるためこのロンスキアンはある区間内の任意の点において0にならない―
いまを斉次方程式の解とし、ある区間内の任意の点をとして一つだけ取ると、

の方程式、 を満たす定型数があると考えられるので、

とした場合、先に示した斉次方程式のを用いて、

では斉次の解と考えられ、任意の解の１次結合

であるとし、仮に定数がの関数と考えて次のような関係式、 であるとするならば次の式、

が1次独立であることを用いて、

斉次の解を上のとすると先ほどのはの解と考えられ、 これは同次方程式の一般解と置くことが考えられます。

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